三维空间中的截距公式

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简介

截距公式可以应用于位于二维或三维空间中的线段。线段的分割是一种方法或过程，其中线段被分成几个部分（相等或不相等）。点用于分割线段。它是一种重要的坐标几何方法，用于确定三角形的重心、内心和外心。在本教程中，我们将讨论三维几何、截距公式和距离公式，并提供一些例题。

三维坐标几何

三维坐标几何表示三维空间中的几何图形。它需要三个坐标来表示三维平面中任何点的位置。此外，这三个坐标告诉我们点在 X 轴、Y 轴和 Z 轴上的位置。三条轴的交点称为原点（如图所示）。在现实生活中，我们看到各种物体，它们具有高度、深度和宽度。这些被称为三维几何。

三维几何中的截距公式

截距公式根据点相对于线段的相对位置进行分类。在坐标几何中存在两种类型的截距公式，例如：

• 内分公式

• 外分公式

现在，我们将详细讨论每种截距公式。

内分公式

在这种类型的分割中，线段被一个点在内部分割成两部分。例如，考虑一条线段，其端点的坐标为

$\mathrm{P(x_{1}y_{1}z_{1})\:和\:Q(x_{2}y_{2}z_{2}).\:一个点\:R(x_{3}y_{3}z_{3})}$被线段在 m:n 的比例下内分（如图所示）。现在，可以使用以下公式确定点 $\mathrm{R(x_{3}y_{3}z_{3})}$ 的坐标。

$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})\:=\:(\frac{mx_{2}\:+\:nx_{1}}{m\:+\:n}\:,\:\frac{my_{2}\:+\:ny_{1}}{m\:+\:n}\:,\:\frac{mz_{2}\:+\:nz_{1}}{m\:+\:n})}$

如果我们分开坐标，我们将得到

x 轴坐标 $\mathrm{=\:\frac{mx_{2}\:+\:nx_{1}}{m\:+\:n}}$ , y 轴坐标 $\mathrm{=\:\frac{my_{2}\:+\:ny_{1}}{m\:+\:n}}$ z 轴坐标 $\mathrm{\frac{mz_{2}\:+\:nx_{1}}{m\:+\:n}}$

外分公式

在这种类型的分割中，线段被一个点在外部分割成两部分。例如，考虑一条线段，其端点的坐标为 $\mathrm{P(x_{1},y_{1}z_{1})\:和\:Q(x_{2},y_{2},z_{2})\:.\:一个点\:R(x_{3},y_{3},z_{3})}$ 被线段在 m:n 的比例下外分（如图所示）。现在，可以使用以下公式确定点 $\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})}$ 的坐标。

$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})\:=\:(\frac{mx_{2}\:-\:nx_{1}}{m\:-\:n}\:,\:\frac{my_{2}\:-\:ny_{1}}{m\:-\:n}\:,\:\frac{mz_{2}\:-\:nz_{1}}{m\:-\:n})}$

如果我们分开坐标，我们将得到

x 轴坐标 $\mathrm{=\:\frac{mx_{2}\:-\:nx_{1}}{m\:-\:n}}$ , y 轴坐标 $\mathrm{=\:\frac{my_{2}\:-\:ny_{1}}{m\:-\:n}}$ z 轴坐标 $\mathrm{\frac{mz_{2}\:-\:nx_{1}}{m\:-\:n}}$

三维几何中的距离公式（简述）

让我们考虑线段端点的坐标为 $\mathrm{P(x_{1},y_{1},z_{1})\:和\:Q(x_{2},y_{2},z_{2})}$ 通过点 P 和 Q，我们绘制平行于直角坐标系的平面，使得 $\mathrm{\angle\:QPR\:=\:90°\:和\:\angle\:PSR\:=\:90°}$

在三角形 PQR 中使用勾股定理，

$\mathrm{PQ^{2}\:=\:PR^{2}\:+\:QR^{2}..................(1)}$

类似地，在三角形 PSR 中使用勾股定理，

$\mathrm{PR^{2}\:=\:PS^{2}\:+\:RS^{2}..................(2)}$

将 $\mathrm{PR^{2}}$ 的值代入公式 (1)，得到

$\mathrm{PQ^{2}\:=\:PS^{2}\:+\:RS^{2}\:+\:QR^{2}.................(3)}$

使用点的坐标，$\mathrm{PS\:=\:y_{2}\:-\:y_{1}\:,\:RS\:=\:z_{2}\:-\:z_{1}\:,\:QR\:=\:x_{2}\:-\:x_{1}}$

现在，将 PS、RS 和 QR 的值代入公式 (3)

$$\mathrm{\Longrightarrow\:PQ^{2}\:=\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}\:+\:(z_{2}\:-\:z_{1})^{2}\:+\:(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:PQ\:=\:\sqrt{(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}\:+\:(z_{2}\:-\:z_{1})^{2}}}$$

例题

例 1

考虑线段端点的坐标为 (-1, -3, 2), (0, 11, 5)。求出将上述线段在 2:1 的比例下内分的点的坐标。

解答 -

根据题目，

线段端点的坐标 $\mathrm{=\:(-1\:,\:-3\:,\:2)\:,\:(0\:,11\:,\:5)}$

与标准坐标进行比较，$\mathrm{x_{1}\:=\:-1\:,\:y_{1}\:=\:-3\:,\:z_{1}\:=\:2\:,\:x_{2}\:=\:0\:,\:y_{2}\:.\:z_{2}\:=\:5}$

内分比例 = 2:1 (这里，m= 2, n=1)

假设 $\mathrm{R(x_{3},y_{3},z_{3})}$ 为所求点。

使用内分公式，

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})\:=\:(\frac{mx_{2}\:+\:nx_{1}}{m\:+\:n}\:,\:\frac{my_{2}\:+\:ny_{1}}{m\:+\:n}\:,\:\frac{mz_{2}\:+\:nz_{1}}{m\:+\:n})}$$

$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})\:=\:(\frac{2\:\times\:(0)\:+\:1\:\times\:(-1)}{2\:+\:1}\:,\:\frac{2\:\times\:(0)\:+\:1\:\times\:(-1)}{2\:+\:1}\:,\:\frac{2\:\times\:5\:+\:1\:\times\:2}{2\:+\:1})}$

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})\:=\:(\frac{-1}{3},\frac{19}{3},4)}$$

∴所求点的坐标为 $\mathrm{(\frac{-1}{3},\frac{19}{3},4)}$

例 2

线段端点的坐标为 (1, -4, -9) 和 (8, -3, -1)。求出将上述线段在 3:5 的比例下外分的点的坐标。

解答 -

已知，

线段端点的坐标 = (1, -4, -9) 和 (8, -3, -1)

与标准坐标进行比较，$\mathrm{x_{1}\:=\:1,y_{1}\:=\:-4,z_{1}\:=\:-9,x_{2}\:=\:8,y_{2}\:=\:-3,z_{2}\:=\:-1}$

外分比例 $\mathrm{=\:3\colon\:5\:(m\:=\:3\:,\:n\:=\:5)}$

使用外分公式，

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})\:=\:(\frac{mx_{2}\:-\:nx_{1}}{m\:-\:n}\:,\:\frac{my_{2}\:-\:ny_{1}}{m\:-\:n}\:,\:\frac{mz_{2}\:-\:nz_{1}}{m\:-\:n})}$$

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})\:=\:(\frac{3\:\times\:-\:5\:\times\:1}{3\:-\:5},\frac{3\:\times\:(-3)\:-\:(-4)}{3\:-\:5},\frac{3\:\times\:(-1)\:-\:5\:\times\:(-9)}{3\:-\:5})}$$

$$\mathrm{R(x_{3}\:,\:y_{3}\:,\:z_{3})\:=\:(\frac{-19}{2},\frac{-11}{2},21)}$$

∴所求点的坐标为 $\mathrm{(\frac{-19}{2},\frac{-11}{2},21)}$

例 3

检查给定点是否共线。$\mathrm{P(-1,0,7)\:,Q(3,2,1)\:,\:R(5,3,-2)}$

解答 -

如果给定点共线，则两条线段距离之和将等于第三条线段的距离。

现在，使用三维距离公式

$\mathrm{PQ\:=\:\sqrt{(3\:-\:(-1))^{2}\:+\:(2\:-\:0)^{2}\:+\:(1\:-\:7)^{2}}}$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:PQ=\:\sqrt{16\:+\:4\:36}\:=\:\sqrt{}56}\:=\:2\sqrt{}14$$

$\mathrm{QR\:=\:\sqrt{(5\:-\:3)^{2}\:+\:(3\:-\:2)^{2}\:+\:(-2\:-\:1)^{2}}}$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:QR=\:\sqrt{4\:+\:1\:+\:9}\:=\:\sqrt{14}}$$

$\mathrm{PR\:=\:\sqrt{(5\:-\:(-1))^{2}\:+\:(3\:-\:0)^{2}\:+\:(-2\:-\:7)^{2}}}$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:QR\:=\:\sqrt{36\:+\:9\:+\:81}\:=\:\sqrt{126}\:=\:3\sqrt{14}}$$

由于 $\mathrm{PQ\:+\:QR\:=\:PR}$ ，因此给定的三个点共线。

应用题

问题 1：线段端点的坐标为 (8, 0, -1) 和 (- 2, -7, -5)。求出将上述线段在 7:10 的比例下外分和内分的点的坐标。

问题 2：求出 z 轴上与点 (10, 2, 1) 和 (-5, -7, 2) 等距的点的坐标。

结论

本教程简要介绍了使用截距公式在三维几何中分割线段。此外，还简要描述了确定两点之间距离的公式。此外，还提供了一些例题，以便更好地理解这个概念。总之，本教程可能有助于理解三维空间中的截距公式。

常见问题

1. 如果一个点是线段的中点，那么分割比例是多少？

如果点是线段的中点，它必须将线段分成两等分。在这种情况下，比例，即 m: n，将为 1:1。

2. 比例 m: n 可以为负数吗？

可以。在外分中，比例 m: n 为负值。

3. 截距公式可以应用于二维几何吗？

可以。在二维坐标几何中，每个点在 x 和 y 方向上都有两个坐标。

4. 截距公式和中点公式有什么区别？

在截距公式中，点以任意比例分割线段，即 m: n。但是，在中点公式的情况下，点以 1:1 的比例分割线段。

5. 两点之间的距离可以为负数吗？

不可以。两点之间的距离始终为正整数。