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法律研究三维空间中的截距公式
简介
截距公式可以应用于位于二维或三维空间中的线段。线段的分割是一种方法或过程，其中线段被分成几个部分（相等或不相等）。点用于分割线段。它是一种重要的坐标几何方法，用于确定三角形的重心、内心和外心。在本教程中，我们将讨论三维几何、截距公式和距离公式，并提供一些例题。
三维坐标几何
三维坐标几何表示三维空间中的几何图形。它需要三个坐标来表示三维平面中任何点的位置。此外，这三个坐标告诉我们点在 X 轴、Y 轴和 Z 轴上的位置。三条轴的交点称为原点（如图所示）。在现实生活中，我们看到各种物体，它们具有高度、深度和宽度。这些被称为三维几何。
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三维几何中的截距公式
截距公式根据点相对于线段的相对位置进行分类。在坐标几何中存在两种类型的截距公式，例如：
内分公式
外分公式
现在，我们将详细讨论每种截距公式。
内分公式
在这种类型的分割中，线段被一个点在内部分割成两部分。例如，考虑一条线段，其端点的坐标为
P(x1y1z1)和Q(x2y2z2).一个点R(x3y3z3)被线段在 m:n 的比例下内分（如图所示）。现在，可以使用以下公式确定点 R(x3y3z3) 的坐标。
R(x3,y3,z3)=(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n,mz2+nz1m+n)
如果我们分开坐标，我们将得到
x 轴坐标 =mx2+nx1m+n , y 轴坐标 =my2+ny1m+n z 轴坐标 mz2+nx1m+n
外分公式
在这种类型的分割中，线段被一个点在外部分割成两部分。例如，考虑一条线段，其端点的坐标为 P(x1,y1z1)和Q(x2,y2,z2).一个点R(x3,y3,z3) 被线段在 m:n 的比例下外分（如图所示）。现在，可以使用以下公式确定点 R(x3,y3,z3) 的坐标。
R(x3,y3,z3)=(mx2−nx1m−n,my2−ny1m−n,mz2−nz1m−n)
如果我们分开坐标，我们将得到
x 轴坐标 =mx2−nx1m−n , y 轴坐标 =my2−ny1m−n z 轴坐标 mz2−nx1m−n
三维几何中的距离公式（简述）
让我们考虑线段端点的坐标为 P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2) 通过点 P 和 Q，我们绘制平行于直角坐标系的平面，使得 ∠QPR=90°和∠PSR=90°
在三角形 PQR 中使用勾股定理，
PQ2=PR2+QR2..................(1)
类似地，在三角形 PSR 中使用勾股定理，
PR2=PS2+RS2..................(2)
将 PR2 的值代入公式 (1)，得到
PQ2=PS2+RS2+QR2.................(3)
使用点的坐标，PS=y2−y1,RS=z2−z1,QR=x2−x1
现在，将 PS、RS 和 QR 的值代入公式 (3)
⟹PQ2=(y2−y1)2+(z2−z1)2+(x2−x1)2
⟹PQ=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
例题
例 1
考虑线段端点的坐标为 (-1, -3, 2), (0, 11, 5)。求出将上述线段在 2:1 的比例下内分的点的坐标。
解答 -
根据题目，
线段端点的坐标 =(−1,−3,2),(0,11,5)
与标准坐标进行比较，x1=−1,y1=−3,z1=2,x2=0,y2.z2=5
内分比例 = 2:1 (这里，m= 2, n=1)
假设 R(x3,y3,z3) 为所求点。
使用内分公式，
R(x3,y3,z3)=(mx2+nx1m+n,my2+ny1m+n,mz2+nz1m+n)
R(x3,y3,z3)=(2×(0)+1×(−1)2+1,2×(0)+1×(−1)2+1,2×5+1×22+1)
R(x3,y3,z3)=(−13,193,4)
∴所求点的坐标为 (−13,193,4)
例 2
线段端点的坐标为 (1, -4, -9) 和 (8, -3, -1)。求出将上述线段在 3:5 的比例下外分的点的坐标。
解答 -
已知，
线段端点的坐标 = (1, -4, -9) 和 (8, -3, -1)
与标准坐标进行比较，x1=1,y1=−4,z1=−9,x2=8,y2=−3,z2=−1
外分比例 =3:5(m=3,n=5)
使用外分公式，
R(x3,y3,z3)=(mx2−nx1m−n,my2−ny1m−n,mz2−nz1m−n)
R(x3,y3,z3)=(3×−5×13−5,3×(−3)−(−4)3−5,3×(−1)−5×(−9)3−5)
R(x3,y3,z3)=(−192,−112,21)
∴所求点的坐标为 (−192,−112,21)
例 3
检查给定点是否共线。P(−1,0,7),Q(3,2,1),R(5,3,−2)
解答 -
如果给定点共线，则两条线段距离之和将等于第三条线段的距离。
现在，使用三维距离公式
PQ=√(3−(−1))2+(2−0)2+(1−7)2
⟹PQ=√16+436=√56=2√14
QR=√(5−3)2+(3−2)2+(−2−1)2
⟹QR=√4+1+9=√14
PR=√(5−(−1))2+(3−0)2+(−2−7)2
⟹QR=√36+9+81=√126=3√14
由于 PQ+QR=PR ，因此给定的三个点共线。
应用题
问题 1：线段端点的坐标为 (8, 0, -1) 和 (- 2, -7, -5)。求出将上述线段在 7:10 的比例下外分和内分的点的坐标。
问题 2：求出 z 轴上与点 (10, 2, 1) 和 (-5, -7, 2) 等距的点的坐标。
结论
本教程简要介绍了使用截距公式在三维几何中分割线段。此外，还简要描述了确定两点之间距离的公式。此外，还提供了一些例题，以便更好地理解这个概念。总之，本教程可能有助于理解三维空间中的截距公式。
常见问题
1. 如果一个点是线段的中点，那么分割比例是多少？
如果点是线段的中点，它必须将线段分成两等分。在这种情况下，比例，即 m: n，将为 1:1。
2. 比例 m: n 可以为负数吗？
可以。在外分中，比例 m: n 为负值。
3. 截距公式可以应用于二维几何吗？
可以。在二维坐标几何中，每个点在 x 和 y 方向上都有两个坐标。
4. 截距公式和中点公式有什么区别？
在截距公式中，点以任意比例分割线段，即 m: n。但是，在中点公式的情况下，点以 1:1 的比例分割线段。
5. 两点之间的距离可以为负数吗？
不可以。两点之间的距离始终为正整数。
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