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法律研究根据第 13.5 节提供的符号，推导出圆台体积的公式。
待办事项
我们需要推导出圆台体积的公式。
解答
设 $ABC$ 为一个圆锥。
从圆锥中，用平行于底面的平面截取圆台 $DECB$。
$r_1$ 和 $r_2$ 分别为圆台上下底面的半径，$h$ 为圆台的高。
在 $\triangle ABG$ 和 $\triangle ADF$ 中
$DF \| BG$
因此，
$\triangle ABG \sim \triangle ADF$
这意味着，
$\frac{D F}{B G}=\frac{A F}{A G}=\frac{A D}{A B}$
$\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{h_{1}-h}{h_{1}}=\frac{l_{1}-l}{l_{1}}$
$\frac{r_{2}}{r_{1}}=1-\frac{h}{h_{1}}=1-\frac{l}{l_{1}}$
$1-\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}$
$\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=1-\frac{r_{2}}{r_{1}}$
$\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=\frac{r_1-r_{2}}{r_{1}}$
$\frac{h_1}{h}=\frac{r_1}{r_1-r_2}$
$h_1=\frac{r_1h}{r_1-r_2}$
圆台体积 = 圆锥 $ABC$ 体积 - 圆锥 $ADE$ 体积
$=\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1 -\frac{1}{3}\pi r_2^2(h_1 - h)$
$= \frac{\pi}{3}[r_1^2h_1-r_2^2(h_1 - h)]$
$=\frac{\pi}{3}[r_{1}^{2}(\frac{h r_{1}}{r_{1}-r_{2}})-r_{2}^{2}(\frac{h r_{1}}{r_{1}-r_{2}}-h)]$
$=\frac{\pi}{3}[(\frac{h r_{1}^{3}}{r_{1}-r_{2}})-r_{2}^{2}(\frac{h r_{1}-h r_{1}+h r_{2}}{r_{1}-r_{2}})]$
$=\frac{\pi}{3}[\frac{h r_{1}^{3}}{r_{1}-r_{2}}-\frac{h r_{2}^{3}}{r_{1}-r_{2}}]$
$=\frac{\pi}{3} h[\frac{r_{1}^{3}-r_{2}^{3}}{r_{1}-r_{2}}]$
$=\frac{\pi}{3} h[\frac{(r_{1}-r_{2})(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2})}{r_{1}-r_{2}}]$
$=\frac{\pi}{3} h(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2})$
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