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法律研究根据第 13.5 节提供的符号，推导出圆台体积的公式。
待办事项
我们需要推导出圆台体积的公式。
解答
设 ABC 为一个圆锥。
从圆锥中，用平行于底面的平面截取圆台 DECB。
r1 和 r2 分别为圆台上下底面的半径，h 为圆台的高。
在 △ABG 和 △ADF 中
DF‖
因此，
\triangle ABG \sim \triangle ADF
这意味着，
\frac{D F}{B G}=\frac{A F}{A G}=\frac{A D}{A B}
\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{h_{1}-h}{h_{1}}=\frac{l_{1}-l}{l_{1}}
\frac{r_{2}}{r_{1}}=1-\frac{h}{h_{1}}=1-\frac{l}{l_{1}}
1-\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}
\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=1-\frac{r_{2}}{r_{1}}
\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=\frac{r_1-r_{2}}{r_{1}}
\frac{h_1}{h}=\frac{r_1}{r_1-r_2}
h_1=\frac{r_1h}{r_1-r_2}
圆台体积 = 圆锥 ABC 体积 - 圆锥 ADE 体积
=\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1 -\frac{1}{3}\pi r_2^2(h_1 - h)
= \frac{\pi}{3}[r_1^2h_1-r_2^2(h_1 - h)]
=\frac{\pi}{3}[r_{1}^{2}(\frac{h r_{1}}{r_{1}-r_{2}})-r_{2}^{2}(\frac{h r_{1}}{r_{1}-r_{2}}-h)]
=\frac{\pi}{3}[(\frac{h r_{1}^{3}}{r_{1}-r_{2}})-r_{2}^{2}(\frac{h r_{1}-h r_{1}+h r_{2}}{r_{1}-r_{2}})]
=\frac{\pi}{3}[\frac{h r_{1}^{3}}{r_{1}-r_{2}}-\frac{h r_{2}^{3}}{r_{1}-r_{2}}]
=\frac{\pi}{3} h[\frac{r_{1}^{3}-r_{2}^{3}}{r_{1}-r_{2}}]
=\frac{\pi}{3} h[\frac{(r_{1}-r_{2})(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2})}{r_{1}-r_{2}}]
=\frac{\pi}{3} h(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2})
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