根据第 13.5 节提供的符号，推导出圆台体积的公式。

待办事项

我们需要推导出圆台体积的公式。

解答

设 $ABC$ 为一个圆锥。

从圆锥中，用平行于底面的平面截取圆台 $DECB$。

$r_1$ 和 $r_2$ 分别为圆台上下底面的半径，$h$ 为圆台的高。

在 $\triangle ABG$ 和 $\triangle ADF$ 中

$DF \| BG$

因此，

$\triangle ABG \sim \triangle ADF$

这意味着，

$\frac{D F}{B G}=\frac{A F}{A G}=\frac{A D}{A B}$

$\frac{r_{2}}{r_{1}}=\frac{h_{1}-h}{h_{1}}=\frac{l_{1}-l}{l_{1}}$

$\frac{r_{2}}{r_{1}}=1-\frac{h}{h_{1}}=1-\frac{l}{l_{1}}$

$1-\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}$

$\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=1-\frac{r_{2}}{r_{1}}$

$\frac{h}{\mathrm{h}_{1}}=\frac{r_1-r_{2}}{r_{1}}$

$\frac{h_1}{h}=\frac{r_1}{r_1-r_2}$

$h_1=\frac{r_1h}{r_1-r_2}$

圆台体积 = 圆锥 $ABC$ 体积 - 圆锥 $ADE$ 体积

$=\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1 -\frac{1}{3}\pi r_2^2(h_1 - h)$

$= \frac{\pi}{3}[r_1^2h_1-r_2^2(h_1 - h)]$

$=\frac{\pi}{3}[r_{1}^{2}(\frac{h r_{1}}{r_{1}-r_{2}})-r_{2}^{2}(\frac{h r_{1}}{r_{1}-r_{2}}-h)]$

$=\frac{\pi}{3}[(\frac{h r_{1}^{3}}{r_{1}-r_{2}})-r_{2}^{2}(\frac{h r_{1}-h r_{1}+h r_{2}}{r_{1}-r_{2}})]$

$=\frac{\pi}{3}[\frac{h r_{1}^{3}}{r_{1}-r_{2}}-\frac{h r_{2}^{3}}{r_{1}-r_{2}}]$

$=\frac{\pi}{3} h[\frac{r_{1}^{3}-r_{2}^{3}}{r_{1}-r_{2}}]$

$=\frac{\pi}{3} h[\frac{(r_{1}-r_{2})(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2})}{r_{1}-r_{2}}]$

$=\frac{\pi}{3} h(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2})$

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更新于: 2022年10月10日

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