一个圆锥的高度为 $20 \mathrm{~cm}$。用平行于底面的平面从顶部切下一个小圆锥。如果它的体积是原圆锥体积的 $1 / 125$，确定截面距离底部的多高。

已知

圆锥的高度为 $20 \mathrm{~cm}$。

用平行于底面的平面从顶部切下一个小圆锥。

它的体积是原圆锥体积的 $\frac{1}{125}$。

要求

我们必须找到截面距离底部的多高。

解答

圆锥的总高度 $H = 20\ cm$

设切下的圆锥高度为 $h_2$。

这意味着：

剩余圆锥（即圆台）的高度 $h_{1}=20-h_{2} \mathrm{cm}$

设 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 分别是大圆锥和小圆锥的半径。

因此：

大圆锥的体积 $=\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h_{1}$

小圆锥的体积 $=\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}$

$\Rightarrow \frac{\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}}{\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} H}=\frac{1}{125}$

$\Rightarrow \frac{r_{2}^{2} \times h_{2}}{r_{1}^{2} \times H} = \frac{1}{125}$

$=\frac{1}{5} \times \frac{1}{25}$

$\Rightarrow \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} \times \frac{h_{2}}{H}=(\frac{1}{5})^{2} \times \frac{1}{5}$

$\Rightarrow (\frac{r_{2}}{r_{1}})^{2}(\frac{h_{2}}{H})=(\frac{1}{5})^{3}$

比较两边，我们得到：

$\Rightarrow (\frac{r_{2}}{r_{1}})^{2}=(\frac{1}{5})^{2}$

$\frac{h_{2}}{H}=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow 5 h_{2}=H$

$\Rightarrow 5 h_{2}=20$

$\Rightarrow h_{2}=4 \mathrm{~cm}$

$h_{1}=H-h_{2}$

$=20-4$

$=16 \mathrm{~cm}$

截面距离底部的距离是 $16 \mathrm{~cm}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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