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法律研究一个圆锥的高度为 \( 20 \mathrm{~cm} \)。用平行于底面的平面从顶部切下一个小圆锥。如果它的体积是原圆锥体积的 \( 1 / 125 \)，确定截面距离底部的多高。
已知
圆锥的高度为 \( 20 \mathrm{~cm} \)。
用平行于底面的平面从顶部切下一个小圆锥。
它的体积是原圆锥体积的 $\frac{1}{125}$。
要求
我们必须找到截面距离底部的多高。
解答
圆锥的总高度 $H = 20\ cm$
设切下的圆锥高度为 $h_2$。
这意味着：
剩余圆锥（即圆台）的高度 $h_{1}=20-h_{2} \mathrm{cm}$
设 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 分别是大圆锥和小圆锥的半径。
因此：
大圆锥的体积 $=\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h_{1}$
小圆锥的体积 $=\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}$
$\Rightarrow \frac{\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}}{\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} H}=\frac{1}{125}$
$\Rightarrow \frac{r_{2}^{2} \times h_{2}}{r_{1}^{2} \times H} = \frac{1}{125}$
$=\frac{1}{5} \times \frac{1}{25}$
$\Rightarrow \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} \times \frac{h_{2}}{H}=(\frac{1}{5})^{2} \times \frac{1}{5}$
$\Rightarrow (\frac{r_{2}}{r_{1}})^{2}(\frac{h_{2}}{H})=(\frac{1}{5})^{3}$
比较两边，我们得到：
$\Rightarrow (\frac{r_{2}}{r_{1}})^{2}=(\frac{1}{5})^{2}$
$\frac{h_{2}}{H}=\frac{1}{5}$
$\Rightarrow 5 h_{2}=H$
$\Rightarrow 5 h_{2}=20$
$\Rightarrow h_{2}=4 \mathrm{~cm}$
$h_{1}=H-h_{2}$
$=20-4$
$=16 \mathrm{~cm}$
截面距离底部的距离是 $16 \mathrm{~cm}$。
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