一个圆锥的高度为$10 \mathrm{~cm}$。用一个平行于底面的平面将圆锥分成两部分，该平面位于圆锥高度的中点。求这两部分体积的比值。

已知

圆锥的高度为$10 \mathrm{~cm}$。用一个平行于底面的平面将圆锥分成两部分，该平面位于圆锥高度的中点。

求解

我们需要求出这两部分体积的比值。

解

圆锥底面半径 $r = 10\ cm$

设圆锥的总高度为 $h$。
在 $\triangle AOB$ 中，

$C$ 是 $AO$ 的中点，且 $CD\ \parallel\ OB$

因此，

$\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{AC}}$

$\Rightarrow \frac{10}{\mathrm{CD}}=\frac{h}{\frac{h}{2}}$

$\Rightarrow \frac{10}{\mathrm{CD}}=\frac{2}{1}$

$\Rightarrow \mathrm{CD}=\frac{10}{2}=5 \mathrm{~cm}$

这意味着，

$r_{2}=5 \mathrm{~cm}$

小圆锥的体积 $=\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} \frac{h}{2}$

$=\frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times \frac{h}{2}$

$=\frac{25}{6} \pi h$

台体的体积 $=\frac{1}{3} \pi \frac{h}{2}(r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2})$

$=\frac{h \pi}{6}(10^{2}+10 \times 5+5^{2})$

$=\frac{\pi h}{6}(100+50+25)$

$=\frac{175}{6} \pi h$

上部分和下部分体积的比值 $=\frac{25}{6} \pi h: \frac{175}{6} \pi h$

$= 1: 7$

这两部分体积的比值为 $1:7$。 

教程点

更新于: 2022-10-10

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