一个内径和外径分别为 2 厘米和 4 厘米的空心球体被熔化成一个底半径为 4 厘米的圆锥体。求圆锥体的高和斜高。

已知

一个内径和外径分别为 2 厘米和 4 厘米的空心球体被熔化成一个底半径为 4 厘米的圆锥体。

要求

我们需要求出圆锥体的高和斜高。

解答

空心球体的内半径 $r = 2\ m$

空心球体的外半径 $R = 4\ m$
空心球体的体积 $=\frac{4}{3} \pi(\mathrm{R}^{3}-r^{3})$

$=\frac{4}{3} \pi(4^{3}-2^{3})$

$=\frac{4}{3} \pi(64-8)$

$=\frac{4}{3} \pi \times 56$

$=\frac{224}{3} \pi \mathrm{cm}^{3}$

所形成的圆锥体底半径 $r_{1}=4 \mathrm{~cm}$
设 $h$ 为圆锥体的高，$l$ 为圆锥体的斜高。

圆锥体的体积 = 空心球体的体积

因此，

$\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h=\frac{224}{3} \pi$

$\Rightarrow \frac{1}{3} \pi(4)^{2} h=\frac{224}{3} \pi$

$\Rightarrow \frac{16}{3} \pi h=\frac{224}{3} \pi$

$\Rightarrow h=\frac{224 \pi}{3} \times \frac{3}{16 \pi}$

$\Rightarrow h=14$

圆锥体的高为 14 厘米

圆锥体的斜高 $l=\sqrt{r_{1}^{2}+h^{2}}$

$=\sqrt{(4)^{2}+(14)^{2}}$

$=\sqrt{16+196}$

$=\sqrt{212}$

$=14.56 \mathrm{~cm}$

圆锥体的高和斜高分别为 14 厘米和 14.56 厘米。

教程点

更新于：2022年10月10日

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