一个空心球壳的内表面和外表面的直径分别为\( 6 \mathrm{~cm} \)和\( 10 \mathrm{~cm} \)。如果将其熔化并重铸成一个直径为\( 14 \mathrm{~cm} \)的实心圆柱体，求圆柱体的高度。

已知

一个空心球壳的内表面和外表面的直径分别为\( 6 \mathrm{~cm} \)和\( 10 \mathrm{~cm} \)。

将其熔化并重铸成一个直径为\( 14 \mathrm{~cm} \)的实心圆柱体。

要求

我们需要求出圆柱体的高度。

解答

空心球壳的外直径 $= 10\ cm$

空心球壳的内直径 $= 6\ cm$

这意味着，

外半径 $R =\frac{10}{2}$

$= 5\ cm$

内半径 $r =\frac{6}{2}$

$= 3\ cm$

所用金属的体积 $=\frac{4}{3} \pi(\mathrm{R}^{3}-r^{3})$

$=\frac{4}{3} \pi[5^{3}-3^{3}]$

$=\frac{4}{3} \pi[125-27]$

$=\frac{4}{3} \pi \times 98 \mathrm{~cm}^{3}$

实心圆柱体的体积 $=$ 所用金属的体积

$=\frac{4}{3} \pi \times 98 \mathrm{~cm}^{3}$

实心圆柱体的直径 $=14 \mathrm{~cm}$

实心圆柱体的半径 $r_{1}=\frac{14}{2}$

$=7 \mathrm{~cm}$
设 $h$ 为圆柱体的高度。

因此，

$\pi r_{1}^{2} h=\frac{4}{3} \pi \times 98$

$\Rightarrow \pi(7)^{2} h=\frac{4}{3} \pi \times 98$

$\Rightarrow 49 \pi h=\frac{98 \times 4}{3} \pi$

$\Rightarrow h=\frac{98 \times 4 \pi}{3 \times 49 \times \pi}$

$\Rightarrow h=\frac{8}{3}$

实心圆柱体的高度为 $\frac{8}{3} \mathrm{~cm}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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