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法律研究一个空心球壳的内外表面直径分别为\( 10 \mathrm{~cm} \)和\( 6 \mathrm{~cm} \)。如果将其熔化并重铸成一个长为\( 2 \frac{2}{3} \mathrm{~cm} \)的实心圆柱体，求圆柱体的直径。
已知
一个空心球壳的内外表面直径分别为\( 10 \mathrm{~cm} \)和\( 6 \mathrm{~cm} \)。
将其熔化并重铸成一个长为\( 2 \frac{2}{3} \mathrm{~cm} \)的实心圆柱体。
要求
我们需要求出圆柱体的直径。
解
球体外表面直径 $=10 \mathrm{~cm}$
球体内直径 $=6 \mathrm{~cm}$
因此，
外半径 $\mathrm{R}=\frac{10}{2}$
$=5 \mathrm{~cm}$
内半径 $r=\frac{6}{2}$
$=3 \mathrm{~cm}$
所用金属的体积 $=\frac{4}{3} \pi[\mathrm{R}^{3}-r^{3}]$
$=\frac{4}{3} \pi[5^{3}-3^{3}]$
$=\frac{4}{3} \pi(125-27)$
$=\frac{4}{3} \pi \times 98$
$=\frac{392 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$
因此，
形成的实心圆柱体的体积 $=\frac{392}{3} \pi \mathrm{~cm}^{3}$
圆柱体的高度 $h=2 \frac{2}{3} \mathrm{~cm}$
$=\frac{8}{3} \mathrm{~cm}$
设半径为 $r$。
$\Rightarrow \pi r^{2} h=\frac{392}{3} \pi$
$\Rightarrow \pi r^{2} \times \frac{8}{3}=\frac{392}{3} \pi$
$\Rightarrow r^{2}=\frac{392 \pi}{3} \times \frac{3}{8 \pi}$
$\Rightarrow r^{2}=49$
$\Rightarrow r=7\ cm$
$\Rightarrow$ 直径 $=2 r$
$=2 \times 7$
$=14 \mathrm{~cm}$
圆柱体的直径为 $14\ cm$。
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