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法律研究一个半径为 \( 3 \mathrm{~cm} \) 的球体被熔化并重铸成三个球体。其中两个球体的半径分别为 \( 1.5 \mathrm{~cm} \) 和 \( 2 \mathrm{~cm} \)。求第三个球体的直径。
已知
一个半径为 \( 3 \mathrm{~cm} \) 的球体被熔化并重铸成三个球体。
其中两个球体的半径分别为 \( 1.5 \mathrm{~cm} \) 和 \( 2 \mathrm{~cm} \)。
要求
我们要求第三个球体的直径。
解
原球体的半径 $R = 3\ cm$
球体的体积 $=4 \pi R^3$
$=4 \pi (3)^3$
$=4 \pi (27)$
$=104 \pi$
第一个小球的半径 $r_1=1.5\ cm$
半径为 $(r_1)$ 的球体的体积 $=4 \pi (1.5)^3$
$=\frac{4}{3} \pi(\frac{3}{2})^{3}$
$=\frac{4}{3} \pi \times \frac{27}{8}$
$=\frac{9 \pi}{2} \mathrm{~cm}^{3}$
第二个球体的半径 $r_2=2\ cm$
半径为 $(r_{2})$ 的球体的体积 $=\frac{4}{3} \times \pi(2)^{3}$
$=\frac{4}{3} \pi \times 8$
$=\frac{32}{3} \pi \mathrm{cm}^{3}$
设第三个小球的半径为 $r_3$。
因此，
第三个小球的体积 $=36 \pi-(\frac{9}{2} \pi+\frac{32}{3} \pi)$
$=36 \pi-(\frac{27+64}{6} \pi)$
$=36 \pi-\frac{91}{6} \pi$
$=\frac{216 \pi-91 \pi}{6}$
$=\frac{125}{6} \pi \mathrm{cm}^{3}$
这意味着，
$\frac{4}{3} \times \pi(r_3)^{3}=\frac{125}{6} \pi \mathrm{cm}^{3}$
$(r_3)^{3}=\frac{3}{4 \pi} \times \frac{125}{6} \pi$
$r_3=\sqrt[3]{\frac{125}{6} \pi \times \frac{3}{4 \pi}}$
$r_3=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$
$r_3=\sqrt[3]{(\frac{5}{2})^{3}}$
$r_3=\frac{5}{2} \mathrm{~cm}$
$r_3=2.5 \mathrm{~cm}$
这意味着，
第三个小球的直径 $=2 \times r_3$
$=2 \times 2.5$
$=5 \mathrm{~cm}$
第三个球体的直径为 $5\ cm$。
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