一个半径为 $3 \mathrm{~cm}$ 的球体被熔化并重铸成三个球体。其中两个球体的半径分别为 $1.5 \mathrm{~cm}$ 和 $2 \mathrm{~cm}$。求第三个球体的直径。

已知

一个半径为 $3 \mathrm{~cm}$ 的球体被熔化并重铸成三个球体。

其中两个球体的半径分别为 $1.5 \mathrm{~cm}$ 和 $2 \mathrm{~cm}$。

要求

我们要求第三个球体的直径。

解

原球体的半径 $R = 3\ cm$

球体的体积 $=4 \pi R^3$

$=4 \pi (3)^3$
$=4 \pi (27)$

$=104 \pi$

第一个小球的半径 $r_1=1.5\ cm$

半径为 $(r_1)$ 的球体的体积 $=4 \pi (1.5)^3$

$=\frac{4}{3} \pi(\frac{3}{2})^{3}$

$=\frac{4}{3} \pi \times \frac{27}{8}$

$=\frac{9 \pi}{2} \mathrm{~cm}^{3}$

第二个球体的半径 $r_2=2\ cm$

半径为 $(r_{2})$ 的球体的体积 $=\frac{4}{3} \times \pi(2)^{3}$

$=\frac{4}{3} \pi \times 8$

$=\frac{32}{3} \pi \mathrm{cm}^{3}$

设第三个小球的半径为 $r_3$。

因此，

第三个小球的体积 $=36 \pi-(\frac{9}{2} \pi+\frac{32}{3} \pi)$

$=36 \pi-(\frac{27+64}{6} \pi)$

$=36 \pi-\frac{91}{6} \pi$

$=\frac{216 \pi-91 \pi}{6}$

$=\frac{125}{6} \pi \mathrm{cm}^{3}$

这意味着，

$\frac{4}{3} \times \pi(r_3)^{3}=\frac{125}{6} \pi \mathrm{cm}^{3}$

$(r_3)^{3}=\frac{3}{4 \pi} \times \frac{125}{6} \pi$

$r_3=\sqrt[3]{\frac{125}{6} \pi \times \frac{3}{4 \pi}}$

$r_3=\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$

$r_3=\sqrt[3]{(\frac{5}{2})^{3}}$

$r_3=\frac{5}{2} \mathrm{~cm}$

$r_3=2.5 \mathrm{~cm}$

这意味着，

第三个小球的直径 $=2 \times r_3$

$=2 \times 2.5$

$=5 \mathrm{~cm}$

第三个球体的直径为 $5\ cm$。

教程点

更新时间: 2022年10月10日

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