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法律研究一个铁球被熔化并重铸成许多相同大小的小球。如果每个小球的半径是原球半径的\( 1 / 4 \)，那么可以制作多少个这样的球？比较所有小球的表面积之和与原球的表面积。
已知
一个铁球被熔化并重铸成许多相同大小的小球。
每个小球的半径是原球半径的\( 1 / 4 \)。
要求
我们需要找出可以制作多少个小球，并比较所有小球的表面积之和与原球的表面积。
解答
设原球的半径为 $R$。
这意味着，
每个小球的半径 $r=\frac{1}{4} \mathrm{R}$
原球的体积 $V_1=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}$
每个小球的体积 $V_2=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{4}{3} \pi(\frac{1}{4} \mathrm{R})^{3}$
$=\frac{1}{64} \times \frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}$
可以制作的小球数量 $=V_1 \div V_2$
$=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3} \div \frac{1}{64} \times \frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}$
$=\frac{4 \pi}{3} \mathrm{R}^{3} \times \frac{64 \times 3}{4 \pi \mathrm{R}^{3}}$
$=64$
原球的表面积 $=4 \pi \mathrm{R}^{2}$
64 个小球的表面积之和 $=64 \times 4 \pi r^{2}$
$=256 \pi(\frac{1}{4} \mathrm{R})^{2}$
$=256 \pi \times \frac{1}{16} \mathrm{R}^{2}$
$=16 \pi \mathrm{R}^{2}$
表面积之比 $=16 \pi \mathrm{R}^{2}: 4 \pi \mathrm{R}^{2}$
$=16: 4$
$=4: 1$
因此，可以制作 64 个这样的球。
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