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法律研究一个底面半径为 \( 10 \mathrm{~cm} \) 的实心圆锥，被一个平行于底面的平面沿其高度中点截成两部分。求圆锥两部分体积的比值。
已知
一个底面半径为 \( 10 \mathrm{~cm} \) 的实心圆锥，被一个平行于底面的平面沿其高度中点截成两部分。
要求
我们需要求圆锥两部分体积的比值。
解答
实心圆锥底面半径 $r = 10\ cm$
设圆锥的总高为 $h$。
在 $\triangle AOB$ 中，
$C$ 是 $AO$ 的中点，且 $CD\ \parallel\ OB$
因此，
$\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{AC}}$
$\Rightarrow \frac{10}{\mathrm{CD}}=\frac{h}{\frac{h}{2}}$
$\Rightarrow \frac{10}{\mathrm{CD}}=\frac{2}{1}$
$\Rightarrow \mathrm{CD}=\frac{10}{2}=5 \mathrm{~cm}$
这意味着，
$r_{2}=5 \mathrm{~cm}$
小圆锥的体积 $=\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} \frac{h}{2}$
$=\frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times \frac{h}{2}$
$=\frac{25}{6} \pi h$
台体的体积 $=\frac{1}{3} \pi \frac{h}{2}(r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2})$
$=\frac{h \pi}{6}(10^{2}+10 \times 5+5^{2})$
$=\frac{\pi h}{6}(100+50+25)$
$=\frac{175}{6} \pi h$
上部分和下部分体积的比值 $=\frac{25}{6} \pi h: \frac{175}{6} \pi h$
$= 1: 7$
圆锥两部分体积的比值为 $1:7$。
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