一个实心直圆锥体被一个平行于底面的平面在它高度的中点处切成两部分。求小圆锥体积与整个圆锥体积的比值。

已知：一个实心直圆锥体被一个平行于底面的平面在它高度的中点处切成两部分。

要求：求小圆锥体积与整个圆锥体积的比值。

解答

设给定圆锥体的半径为 $r$，高为 $h$。

$AD=h$ 且 $DC=r$

$\therefore AG=\frac{h}{2}$

在 $\vartriangle AGF$ 和 $\vartriangle ADC$ 中

$\angle AFG=\angle ACD$

$\because EF||BC$

$\therefore \angle AGE=\angle ADC=90^o$

$\vartriangle AGF\sim \vartriangle ADC$

$\Rightarrow \frac{AG}{AD}=\frac{GF}{DC}$

$\Rightarrow \frac{\frac{h}{2}}{h}=\frac{GF}{DC}$

$\Rightarrow \frac{GF}{DC}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{GF}{r}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow GF=\frac{r}{2}$

$\Rightarrow \frac{小圆锥体积}{整个圆锥体积}=\frac{\frac{1}{3}\times \pi\ ( \frac{r}{2})^2\times( \frac{h}{2})}{\frac{1}{3}\times \pi r^2h}$

$=\frac{1}{8}$

$=1:8$

因此，小圆锥体积与整个圆锥体积的比值为 $1:8$。

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更新于: 2022年10月10日

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