一个实心金属直圆锥体，高20厘米，其顶角为$60^{o}$，被一个平行于底面的平面在其高度的中部截成两部分。如果由此得到的圆台被拉成直径为$\frac{1}{12}$厘米的金属丝，求金属丝的长度。

已知：一个实心金属直圆锥体，高20厘米，其顶角为$60^{o}$，被一个平行于底面的平面在其高度的中部截成两部分。如果由此得到的圆台被拉成直径为$\frac{1}{16}$厘米的金属丝。

要求：求金属丝的长度。

设ACB为圆锥体，其顶角$\angle ACB = 60^{o} $。

设$R$和$x$分别为圆台上下底的半径。

这里，圆锥体的高度，$OC = 20 cm=H$

高度$CP = h = 10\ cm $

设P为OC的中点

通过P将圆锥体截成两部分。

OP =$\frac{20}{2}= 10\ cm$

此外，$\angle ACO$和$\angle OCB =$\frac{1}{2} \times 60^{o} =30^{o} $

从圆锥体CBA中截去圆锥体CQS后，得到的剩余固体是一个圆台。

现在，在三角形CPQ中

$tan30^{o}=\frac{x}{10}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{x}{10}$

$\Rightarrow x=\frac{10}{\sqrt{3}}\ cm$

在三角形COB中

$tan30^{o}=\frac{R}{20}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{R}{20}$

$\Rightarrow R=\frac{20}{\sqrt{3}}$

圆台的体积，$V=\frac{1}{3} \pi \left( R^{2} H-x^{2} h\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^{2} .20-\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^{2} .10\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\frac{400\times 20}{3} -\frac{100\times 10}{3}\right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\frac{8000-1000}{3}\right)$

$\Rightarrow V=\frac{7000}{9} \pi \ cm^{3}$

假设金属丝的长度为l。

已知从圆台得到的金属丝的直径为$\frac{1}{12}\ cm$

金属丝的半径，$r=\frac{1}{2} \times \frac{1}{12} =\frac{1}{24}\ cm$

金属丝的体积$=\pi r^{2} l$

$=\pi \left(\frac{1}{24}\right)^{2} l$

$=\frac{\pi l}{576} cm^{3}$

圆台和形成的金属丝的体积相等，

$\frac{7000}{9} \pi =\frac{\pi l}{576}$

$\Rightarrow \frac{7000}{9} =\frac{l}{576}$

$\Rightarrow l=\frac{7000\times 576}{9}$

$\Rightarrow l=448000\ cm$

$\Rightarrow l=4480\ cm$

因此，金属丝的长度为480厘米。