一个实心金属直圆锥体,高20厘米,其顶角为60o,被一个平行于底面的平面在其高度的中部截成两部分。如果由此得到的圆台被拉成直径为112厘米的金属丝,求金属丝的长度。
已知:一个实心金属直圆锥体,高20厘米,其顶角为60o,被一个平行于底面的平面在其高度的中部截成两部分。如果由此得到的圆台被拉成直径为116厘米的金属丝。
要求:求金属丝的长度。
解题步骤

设ACB为圆锥体,其顶角∠ACB=60o。
设R和x分别为圆台上下底的半径。
这里,圆锥体的高度,OC=20cm=H
高度CP=h=10 cm
设P为OC的中点
通过P将圆锥体截成两部分。
OP =202=10 cm
此外,∠ACO和∠OCB=\frac{1}{2} \times 60^{o} =30^{o} $
从圆锥体CBA中截去圆锥体CQS后,得到的剩余固体是一个圆台。
现在,在三角形CPQ中
tan30o=x10
1√3=x10
⇒x=10√3 cm
在三角形COB中
tan30o=R20
⇒1√3=R20
⇒R=20√3
圆台的体积,V=13π(R2H−x2h)
⇒V=13π((20√3)2.20−(10√3)2.10)
⇒V=13π(400×203−100×103)
⇒V=13π(8000−10003)
⇒V=70009π cm3
假设金属丝的长度为l。
已知从圆台得到的金属丝的直径为112 cm
金属丝的半径,r=12×112=124 cm
金属丝的体积=πr2l
=π(124)2l
=πl576cm3
圆台和形成的金属丝的体积相等,
70009π=πl576
⇒70009=l576
⇒l=7000×5769
⇒l=448000 cm
⇒l=4480 cm
因此,金属丝的长度为480厘米。
广告