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法律研究一个直圆锥的台体，底面直径为 \( 20 \mathrm{~cm} \)，顶面直径为 \( 12 \mathrm{~cm} \)，高为 \( 3 \mathrm{~cm} \)。求其全面积和体积。
已知
一个直圆锥的台体，底面直径为 \( 20 \mathrm{~cm} \)，顶面直径为 \( 12 \mathrm{~cm} \)，高为 \( 3 \mathrm{~cm} \)。
要求
我们需要求出其全面积和体积。
解答
台体底面直径 $= 20\ cm$
这意味着，
台体半径 $r_1 =\frac{20}{2}$
$= 10\ cm$
顶面直径 $= 12\ cm$
顶面半径 $r_{2}=\frac{12}{2}$
$=6 \mathrm{~cm}$
圆锥高 $h=3 \mathrm{~cm}$
因此，
母线长 $l=\sqrt{h^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}$
$=\sqrt{(3)^{2}+(10-6)^{2}}$
$=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}$
$=\sqrt{9+16}$
$=\sqrt{25}$
$=5 \mathrm{~cm}$
台体全面积 $=\pi(r_{1}+r_{2}) l+\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}$
$=\pi(10+6) \times 5+\pi(10)^{2}+\pi(6)^{2}$
$=80 \pi+100 \pi+36 \pi$
$=216 \pi$
$=216 \times \frac{22}{7}$
$=678.85 \mathrm{~cm}^{2}$
台体体积 $=\frac{\pi}{3}(r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}) h$
$=\frac{22}{3 \times 7}[(10)^{2}+10 \times 6+(6)^{2}] 3$
$=\frac{22}{21}[100+60+36] \times 3$
$=\frac{22}{21} \times 196 \times 3$
$=616 \mathrm{~cm}^{3}$
其全面积和体积分别为 $678.85\ cm^2$ 和 $616\ cm^3$。
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