在一个高为\( 12 \mathrm{~cm} \)，底半径为\( 5 \mathrm{~cm} \)的圆柱体中钻出一个圆锥形孔。圆锥的高和底半径与圆柱相同。求剩余圆柱体的表面积和体积。

已知

在一个高为\( 12 \mathrm{~cm} \)，底半径为\( 5 \mathrm{~cm} \)的圆柱体中钻出一个圆锥形孔。

圆锥的高和底半径与圆柱相同。

要求

求剩余圆柱体的表面积和体积。

解答

圆柱底半径 $r= 5\ cm$

圆柱高 $h = 12\ cm$

这意味着：

圆柱体积 $= \pi r^2 h$

$= \pi \times 5^2 \times 12$

$= 300 \pi\ cm^3$

圆锥半径 $r= 5\ cm$

圆锥高 $h = 12\ cm$

这意味着：

圆锥体积 $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$

因此：

剩余圆柱体积 = 圆柱体积 - 圆锥体积

$=300 \pi -100 \pi$

$=200 \pi \mathrm{cm}^{3}$

圆锥斜高 $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

$=\sqrt{(5)^{2}+(12)^{2}}$

$=\sqrt{25+144}$

$=\sqrt{169}$

$=13 \mathrm{~cm}$

圆锥侧面积 $=\pi r l$

$=\pi \times 5 \times 13$

$=65 \pi \mathrm{cm}^{2}$

圆柱表面积 $=2 \pi r h+\pi r^{2}$

$=2 \pi \times 5 \times 12+\pi \times 5^2$

$=120 \pi+25 \pi$

$=145 \pi \mathrm{cm}^{2}$

剩余圆柱体总表面积 $=65 \pi+145 \pi-25\pi$

$=185 \pi \mathrm{cm}^{2}$

剩余圆柱体的表面积和体积分别为 $185 \pi\ cm^2$ 和 $200 \pi\ cm^3$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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