一个直圆锥台的两个圆形底面的半径分别为$12 \mathrm{~cm}$和$3 \mathrm{~cm}$，高为$12 \mathrm{~cm}$。求该圆锥台的表面积和体积。

已知

一个直圆锥台的两个圆形底面的半径分别为$12 \mathrm{~cm}$和$3 \mathrm{~cm}$，高为$12 \mathrm{~cm}$。

要求

求该圆锥台的总表面积和体积。

解

圆锥台的高 $h = 12\ cm$

圆锥台上底半径 $r_1 = 12\ cm$

圆锥台下底半径 $r_2 = 3\ cm$

因此，

圆锥台的母线长 $l=\sqrt{(h)^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}$

$=\sqrt{(12)^{2}+(12-3)^{2}}$

$=\sqrt{(12)^{2}+(9)^{2}}$

$=\sqrt{144+81}$

$=\sqrt{225}$

$=15 \mathrm{~cm}$

圆锥台的总表面积 $=\pi(r_{1}+r_{2}) l+\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}$

$=\pi[(r_{1}+r_{2}) l+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}]$

$=\pi[(12+3) \times 15+(12)^{2}+(3)^{2}]$

$=\pi[15 \times 15+144+9]$

$=\pi[225+144+9]$

$=\pi \times 378$

$=378 \pi \mathrm{cm}^{2}$

圆锥台的体积 $=\frac{\pi}{3}(r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}) h$

$=\frac{\pi}{3}[(12)^{2}+12 \times 3+(3)^{2}] \times 12$

$=\frac{\pi}{3} \times 12[144+36+9]$

$=4 \pi(189) \mathrm{cm}^{3}$

$=756 \pi \mathrm{cm}^{3}$

圆锥台的总表面积和体积分别为 $378 \pi\ cm^2$ 和 $756 \pi\ cm^3$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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