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法学一个水桶的形状是圆台形，容积为\( 12317.6 \mathrm{~cm}^{3} \)。桶的顶部和底部圆形底面的半径分别为\( 20 \mathrm{~cm} \)和\( 12 \mathrm{~cm} \)。求水桶的高度和制作水桶所需的金属板面积。（使用\( \pi=3.14) .\quad \)
已知
一个水桶的形状是圆台形，容积为\( 12308.8 \mathrm{~cm}^{3} \)的水。
桶的顶部和底部圆形底面的半径分别为\( 20 \mathrm{~cm} \)和\( 12 \mathrm{~cm} \)。
要求
我们需要求出水桶的高度和制作水桶所需的金属板面积。
解答
水桶的体积 = 12308.8 cm³
水桶上半径 r₁ = 20 cm
水桶下半径 r₂ = 12 cm
设 h 为水桶的高度。
因此，
\(12308.8=\frac{\pi}{3}[r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}] \times h\)
\( \Rightarrow 12308.8=\frac{3.14}{3}[20^{2}+20 \times 12+12^{2}] \times h\)
\( \Rightarrow 12308.8=\frac{3.14}{3}[400+240+144] \times h\)
\( \Rightarrow \frac{12308.8 \times 3}{3.14}=784 h\)
\( \Rightarrow h=\frac{12308.8 \times 3}{3.14 \times 784}\)
\( \Rightarrow h=15\ cm\)
水桶的母线长 \(l=\sqrt{(h)^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}\)
\( =\sqrt{(15)^{2}+(20-12)^{2}}\)
\( =\sqrt{(15)^{2}+(8)^{2}}\)
\( =\sqrt{225+64}\)
\( =\sqrt{289}\)
\( =17 \mathrm{~cm}\)
水桶的表面积 \(=\pi(r_{1}+r_{2}) l+\pi r_{2}^{2}\)
\( =\pi[(r_{1}+r_{2}) l+r_{2}^{2}]\)
\( =3.14[(20+12) \times 17+(12)^{2}]\)
\( =3.14[32 \times 17+144]\)
\( =3.14 \times(544+144)\)
\( =3.14 \times 688\)
\( =2162.72 \mathrm{~cm}^{2}\)
水桶的高度是15厘米，制作水桶所需的金属板面积是2162.72平方厘米。
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