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法律研究一个顶部开口的桶形如圆台，容积为$12308.8\ cm^{3}$。桶的圆形底面和顶面的半径分别为$20\ cm$和$12\ cm$。求桶的高度以及制作该桶所用金属片的面积。(使用$\pi = 3.14)$
已知： 桶的体积$=123308.8\ cm^{3}$，顶面半径$R=20\ cm$，底面半径$r=12\ cm$。
求解： 求圆台形桶的高度和制作该桶所用金属片的面积。
解答
设桶的高度为$h\ cm$，母线长为$l\ cm$。
我们知道桶的体积$=\frac{\pi h}{3}.( r^{2}+R^{2}+rR)$
$\Rightarrow 123308.8=3.14\times \frac{h}{3}( 20^{2}+12^{2}+20\times12)$
$Rightarrow h=15\ cm$
现在，圆台的母线长，$l=\sqrt{h^{2}+( R-r)^{2}}$
$\Rightarrow l=\sqrt{15^{2}+( 20-12)^{2}}$
$\Rightarrow l=\sqrt{225+64}$
$\Rightarrow l=\sqrt{289}$
$\Rightarrow l=17\ cm$
制作该桶所用金属片的面积，$A=\pi r^{2}+\pi ( r+R)l$
$\Rightarrow A=3.14\times12^{2}+3.14( 20+12)17$
$\Rightarrow A=3.14\times144+3.14\times32\times17$
$\Rightarrow A=2160.32\ cm^{2}$
因此，圆台形桶的高度$h=15\ cm$，制作该桶所用金属片的面积$A=2160.32\ cm^{2}$。
更新于： 2022年10月10日
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