一个顶部开口，由金属板制成的水桶呈圆台形。水桶的深度为$24 \mathrm{~cm}$，其上下圆形底面的直径分别为$30 \mathrm{~cm}$和$10 \mathrm{~cm}$。如果每$100 \mathrm{~cm}^{2}$金属板的价格为$₹ 10$，求制作该水桶所需的金属板的成本。(使用$\pi=3.14$）。

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已知

一个顶部开口，由金属板制成的水桶呈圆台形。

水桶的深度为$24 \mathrm{~cm}$，其上下圆形底面的直径分别为$30 \mathrm{~cm}$和$10 \mathrm{~cm}$。

要求

我们必须求出制作该水桶所需的金属板的成本，已知每$100 \mathrm{~cm}^{2}$金属板的价格为$₹ 10$。

解答

水桶的上半径$\mathrm{R}=\frac{30}{2}$

$=15 \mathrm{~cm}$

水桶的下半径$r=\frac{10}{2}$

$=5 \mathrm{~cm}$

水桶的高度$h=24 \mathrm{~cm}$

因此，

水桶的母线长$l=\sqrt{h^{2}+(\mathrm{R}-r)^{2}}$

$=\sqrt{24^{2}+(15-5)^{2}}$

$=\sqrt{24^{2}+10^{2}}$

$=\sqrt{576+100}$

$=\sqrt{676}$

$=26$

水桶的侧面积$=\pi(r+\mathrm{R}) l$

$=\pi(15+5) \times 26$

$=520 \pi \mathrm{cm}^{3}$

水桶底面积$=\pi r^{2}$

$=\pi \times 5^2$

$=25 \pi \mathrm{cm}^{2}$

开口圆台的总表面积$=520 \pi+25 \pi$

$=545 \pi \mathrm{cm}^{2}$

$=545 \times 3.14$

$=1711.3 \mathrm{~cm}^{2}$

每$100 \mathrm{~cm}^{2}$金属板的成本$=Rs.\ 10$

使用的金属板的总成本$=Rs.\ \frac{1711.3 \times 10}{100}$

$=Rs.\ 171.13$

使用的金属板的成本为 171 卢比。