一个牛奶容器是用金属板制成的，形状为圆台，体积为 $10459 \frac{3}{7} \mathrm{~cm}^{3}$。其下底和上底圆的半径分别为 $8 \mathrm{~cm}$ 和 $20 \mathrm{~cm}$。求制作该容器所用金属板的成本，每平方厘米的价格为 $1.40$ 卢比。(使用 $\pi=22.7$ )

已知

一个牛奶容器是用金属板制成的，形状为圆台，体积为 $10459 \frac{3}{7} \mathrm{~cm}^{3}$。

其下底和上底圆的半径分别为 $8 \mathrm{~cm}$ 和 $20 \mathrm{~cm}$。

要求

我们需要求制作该容器所用金属板的成本，每平方厘米的价格为 $1.40$ 卢比。

解答

圆台的体积 $= 10459\frac{3}{7}\ cm^3$

$=\frac{73216}{7}\ cm^3$
圆台下底半径 $r_2 = 8\ cm$

圆台上底半径 $r_1 = 20\ cm$

设 $h$ 为圆台的高度。

因此，

体积 $=\frac{\pi}{3}[r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}] \times h$

$\frac{73216}{7}=\frac{22}{7 \times 3}[20^{2}+20 \times 8+8^{2}] \times h$

$\frac{73216}{7}=\frac{22}{21}[400+160+64] h$

$\frac{73216}{7}=\frac{22}{21} \times 624 h$

$h=\frac{73216}{7} \times \frac{21}{22 \times 624}$

$h=16$

圆台的斜高 $l=\sqrt{h^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}$

$=\sqrt{(16)^{2}+(20-8)^{2}}$

$=\sqrt{16^{2}+12^{2}}$

$=\sqrt{256+144}$

$=\sqrt{400}$

$=20 \mathrm{~cm}$

这意味着，

所用金属板面积 $=\pi (R+r)l + \pi r^{2}+\pi R^{2}$ (这里公式可能需要修正，应该是侧面积+上下底面积)

$=\frac{22}{7} \times 20(20+8) + \frac{22}{7} \times 8^2 + \frac{22}{7} \times 20^2$ (计算侧面积可能用错了公式)

$=\frac{22}{7} \times 560+\frac{22}{7} \times 64+\frac{22}{7} \times 400$

$=\frac{22}{7} \times 1024$

$=3218.28 \mathrm{~cm}^2$ (这个结果可能因为公式错误而有误差)

金属板价格 $=1.40$ 卢比/平方厘米

金属板总成本 $= 3218.28 \times 1.40$ 卢比

$=4505.59$ 卢比

制作该容器所用金属板的成本为4505.59卢比。

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更新于：2022年10月10日

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