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法学一个牛奶容器由金属板制成，形状为圆台，体积为$\displaystyle 10459\frac{3}{7} \ cm^{3}$。其上下底圆的半径分别为$\displaystyle \ 8$ cm和$\displaystyle 20$ cm。求制作该容器所用金属板的成本，金属板价格为每平方厘米1.40卢比。
已知：容器体积$( V)=10459\frac{3}{7}$，上底圆半径$( r)=8\ cm$，下底圆半径$( R)=20\ cm$，金属板成本=每平方厘米1.40卢比。
求解：求制作该容器所需金属板的总成本。
解答
下底半径 $r=8\ cm$
上底半径 $R=20\ cm$
设圆台高度为 $h\ cm$。
则圆台体积 V$=\frac{\pi }{3} h\left( R^{2} +r^{2} +Rr\right)$
$=\frac{\pi}{3}\ h\left(( 20)^{2} +( 8)^{2} +20\times 8\right)$
$=\frac{22}{7} \times \frac{1}{3} \times 624\times h$
$=\frac{22}{7} \times h\times 208$
已知体积 V$=10459\frac{3}{7}$
代入其值，
$\frac{73216}{7} =\frac{22}{7} \times h\times 208$
$\Rightarrow h=\frac{73216}{22\times 208}$
$\Rightarrow h=16\ cm$
容器的总表面积 A
$=\pi( R+r)\sqrt{\left(( R-r)^{2} +h^{2} \ \right)} +πr^{2}$
$=\ \ \frac{22}{7}( 20+8)\sqrt{\left(( 20-8)^{2} +( 16)^{2} \ \right)} +\frac{22}{7} \times 8\times 8$
$=\frac{22}{7}( 28)\sqrt{\left(( 12)^{2} +( 16)^{2} \ \right)} +\frac{22}{7} \times 8\times 8$
$=\frac{22}{7}\left( 28\sqrt{( 144+256)} +64\right)$
$=\frac{22}{7}\left( 28\times \sqrt{400} +64\right)$
$=\frac{22}{7}( 28\times 20+64)$
$=\frac{22}{7} \times 624$
已知金属成本为每平方厘米1.40卢比。
金属总成本$=表面积\times 1.40$
$=\frac{22}{7} \times 624\times 1.40$
$=2745.60$.
因此，制作该容器的金属板成本为2745.60卢比。
更新于：2022年10月10日
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