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法学一个高20厘米，顶角为60°的金属直圆锥，在其高度一半处被一个平行于底面的平面切成两部分。如果由此得到的圆台被拉成直径为$\frac{1}{16}$厘米的金属丝，求金属丝的长度。
已知
一个高20厘米，顶角为$60^{o}$的金属直圆锥，在其高度一半处被一个平行于底面的平面切成两部分。
由此得到的圆台被拉成直径为$\frac{1}{16}$厘米的金属丝。
要求
求金属丝的长度。
解答
设ACB为圆锥，其顶角$\angle ACB = 60^{o} $。
设$R$和$x$分别为圆台上下底的半径。
圆锥高$OC = 20 cm=H$
高$CP = h = 10\ cm $
设P为OC的中点
通过P将圆锥切成两部分。
OP =$\frac{20}{2}= 10\ cm$
且$\angle ACO$ 和 $\angle OCB =\frac{1}{2} \times 60^{o} =30^{o} $
从圆锥CBA切下圆锥CQS后，剩余部分为圆台。
在三角形CPQ中
$tan30^{o}=\frac{x}{10}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{x}{10}$
$\Rightarrow x=\frac{10}{\sqrt{3}}\ cm$
在三角形COB中
$tan30^{o}=\frac{R}{20}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{R}{20}$
$\Rightarrow R=\frac{20}{\sqrt{3}}$
圆台体积，$V=\frac{1}{3} \pi \left( R^{2} H-x^{2} h\right)$
$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^{2} .20-\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^{2} .10\right)$
$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\frac{400\times 20}{3} -\frac{100\times 10}{3}\right)$
$\Rightarrow V=\frac{1}{3} \pi \left(\frac{8000-1000}{3}\right)$
$\Rightarrow V=\frac{7000}{9} \pi \ cm^{3}$
设金属丝长度为$l$。
已知金属丝直径为$\frac{1}{16}\ cm$
金属丝半径，$r=\frac{1}{2} \times \frac{1}{16} =\frac{1}{32}\ cm$
金属丝体积$=\pi r^{2} l$
$=\pi \left(\frac{1}{32}\right)^{2} l$
$=\frac{\pi l}{1024} cm^{3}$
圆台和金属丝的体积相等，
$\frac{7000}{9} \pi =\frac{\pi l}{1024}$
$\Rightarrow \frac{7000}{9} =\frac{l}{1024}$
$\Rightarrow l=\frac{7000\times 1024}{9}$
$\Rightarrow l=796444.44\ cm$
$\Rightarrow l=7964.44\ m$
因此，金属丝的长度为7964.4米。
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