驻波简正模式

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简介

驻波是由两个沿相反方向传播、频率和振幅相同的波相互干涉产生的。

当这些波叠加时，就会发生这种情况，因此这两个波的能量要么加在一起，要么完全抵消。一根一端系住的振动绳会产生驻波或简正模式。

什么是驻波？

驻波也称为驻定波。驻波简单地定义为在弦上形成的波，它是两个频率和振幅相同且沿相反方向传播的波叠加的结果（Wang 等人，2021）。

弹簧上的质量有一个固有频率，可以帮助它自由地来回摆动。然而，一根拉紧的弦，如果一端固定，则会以整个频率谱摆动，并有其自身的振动模式。这种振动模式被称为驻波或简正模式。

如果一根拉长的弦两端固定，并且连续波沿 x 方向传播，则波到达特定的固定端会反射并返回到左侧（Ong, W & Zainulabidin, 2020）。

当左侧传播的波反射并开始向右传播时，相同的循环继续。它们开始相互叠加，最终结果是，在这个过程中，有太多相互叠加的波永不停歇地相互叠加（Muchomas，2022）。它形成了两种类型的波，纵波和横波，它们一起产生了驻波。

图 1：驻波

驻波方程

如果考虑在任意点 u 和时间 t，两个波沿相反方向（即弦上的左右方向）移动，并且它们具有相同的振幅、频率和波长（Ong, W & Zainulabidin, 2020）。使用三角恒等式 sin (a + b) = sin (a) cos (b) + cos(a)sin(b)，可以写出结果并形成一个方程，即 - y(u,t) = A sin(ku - ωt) + A sin(ku + ωt) = 2A sin(ku)cos(ωt)。

由于位置和时间依赖性已经分离，因此波不再是行波（Wang 等人，2021）。没有能量沿着弦传播，这将表明弦的一部分将以最大振幅摆动，而另一部分甚至不会移动。在这里，它产生了驻波或简正模式。

图 2：驻波的形成

什么是节点和波腹？

驻波的模式以节点和波腹的交替模式为特征。

节点

节点是驻波中波振幅最小的特定点。它可以定义为所有驻波，其特征在于它们的位置以及静止的介质（Ong, W & Zainulabidin, 2020）。

当波峰遇到波谷时，就会产生节点。在节点处，振幅为 0。

波腹

驻波也以波腹为特征。节点的对立面是波腹。当波峰遇到波峰，波谷遇到波谷时，就会产生波腹（labman，2022）。

波腹可以定义为最大振幅区域，该区域正好位于振动物体或弹簧中相邻节点之间，这意味着在驻波的每个振动周期中，通过最大位移次数的点。

图 3：节点和波腹

驻波或简正模式的示例

驻波最简单、最常见的例子是在任何弦乐器（如拨弦吉他）产生的波中找到的。这根拨动的吉他弦发出特定的声频，这取决于两件事，即弦的长度以及弦的拉紧程度或密度（Ong, W & Zainulabidin, 2020）。

由于弦上只能形成某些驻波或简正模式，因此每根弦只能发出特定的音符。在鼓中也可以看到驻波的影响。如果可以在鼓上撒粉，然后使其振动，则可以检查驻波的外观。

为了更好地理解驻波或简正模式，更容易以两个人摇晃跳绳的两端为例（Ualberta，2022）。如果他们开始同步摇晃绳子，就会形成驻波。

结论

简而言之，通常，当两端反射或移动的两波产生干涉图样时，这种图样是最复杂和最令人困惑的。但是，由于波的波长恰到好处，所以整数个半波长恰好适合弦的长度；它形成了驻波。驻波的模式几乎可以在任何类型的结构中建立。但是，当它处于 2D 或 3D 时，它变得更加复杂。如果一个结构以所有基本频率振动，那么结果表明所有粒子都将以完全相同的频率同相振动。

常见问题

Q1. 请列举两个驻波的例子。

当然可以在任何有弦的乐器中找到驻波。例如，在吉他中，最简单的驻波示例是两个人摇晃跳绳的两端。

Q2. 简正模式是什么？

驻波也称为简正模式，它通过纵波和横波形成。

Q3. 节点和波腹如何与驻波相关？

驻波模式以节点和波腹的交替模式为特征。驻波的振幅可以无限增大，直到结构受到损坏。

参考文献

期刊

Wang, Z., Shen, Y., Liu, Q., & Fu, X. (2021). 通过射线-波二元性统一方位角行波和驻波结构光。光学学报，23(11)，115604。检索自：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2040-8986/ac160b/pdf

Ong, W. S., & Zainulabidin, M. H. (2020)。通过有限元分析分析在振动节点和波腹处连接有减振器的梁结构的振动特性。JSE 科学与工程杂志，1(1)，7-16。检索自：https://journals.umkt.ac.id/index.php/jse/article/download/519/447

网站

Muchomas (2022)。关于驻波/简正模式，检索自：https://muchomas.lassp.cornell.edu/p214/Notes/IntroWaves/node15.html 。[检索于 2022 年 6 月 17 日]

ualberta (2022)。关于驻波；简正模式。检索自：https://sites.ualberta.ca [检索于：2022 年 6 月 17 日]

labman (2022)。关于驻波。检索自：http://labman.phys.utk.edu [检索于 2022 年 6 月 17 日]

physicskey (2022)。关于驻波和简正波。检索自：https://www.physicskey.com/39/standing-waves-and-normal-modes. [检索于 2022 年 6 月 17 日]