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法学什么是理想重建滤波器？
什么是数据重建？
数据重建定义为从采样信号xs(t)中获得模拟信号x(t)的过程。数据重建也称为插值。
采样信号由下式给出：
xs(t)=x(t)∞∑n=−∞δ(t−nT)
⇒xs(t)=∞∑n=−∞x(nT)δ(t−nT)
其中，δ(t−nT) 除了在时刻 *t = nT* 外均为零。一个假设为线性时不变的重建滤波器具有单位冲激响应 h(t)。重建滤波器的输出由卷积给出：
y(t)=∫∞−∞∞∑n=−∞x(nT)δ(k−nT)h(t−k)dk
通过重新排列积分和求和的顺序，我们得到：
y(t)=∞∑n=−∞x(nT)∫∞−∞δ(k−nT)h(t−k)dk
∴y(t)=∞∑n=−∞x(nT)h(t−nT)
理想重建滤波器
理想重建滤波器用于从采样信号构建平滑的模拟信号。如果信号 x(t) 以高于奈奎斯特采样率的频率进行采样，并且采样信号 xs(t) 然后通过一个理想重建滤波器（或理想低通滤波器），带宽大于 fm（这是信号中存在的最大频率），但小于 (fs−fm)，并且带通幅度响应为 T，则滤波器的输出为 x(t)。理想重建滤波器的带宽取为 0.5 fs。
因此，理想重建滤波器的传递函数由下式给出：
H(f)={T for |f|<0.5fs 0 otherwise
理想重建滤波器的框图如图所示。(此处应插入图片)
理想重建滤波器的冲激响应由下式给出：
h(t)=∫0.5fs−0.5fsTej2πftdf
⇒h(t)=T[ej2πftj2πt]0.5fs−0.5fs=Tj2πt(ejπfst−e−jπfst)
⇒h(t)=1πfst(ejπfst−e−jπfst2j)=sinπfstπfst
∴h(t)=sinc(fst)
将冲激响应的值代入重建滤波器输出的表达式中，我们有：
y(t)=x(t)=∞∑n=−∞x(nT)sincfs(t−nT)
∴x(t)=∞∑n=−∞x(nT)sinc(tT−n)
因此，很明显，可以通过对以样本时间为中心的 sinc 函数对每个样本进行加权并求和来重建原始信号。理想重建滤波器是非因果的，其冲激响应不是有限的。因此，它不能用于实时应用。
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