代数 – 线性方程应用

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介绍

线性方程在数学中有着广泛的应用。方程可以定义为等于常数或其他表达式的代数表达式。变量的最高指数幂等于一的方程称为线性方程。数学表达式可以用来解决文字题。数学知识通常通过以表达式形式编码的文字题来应用。在本教程中，我们将学习线性方程、线性方程的代数、线性方程的求解、一个方程一个变量、两个方程两个变量以及一些已解决的示例。

线性方程

一个或多个变量的幂等于 1 的方程。线性方程也称为一元一次方程。

线性方程的代数

线性方程可以用不同的形式表示，例如：

• 标准形式。

• 斜截式。

• 点斜式。

线性方程的代数形式为$\mathrm{Ax\:+\:c\:=\:0\:或\:Ax\:+\:By\:+\:c\:=\:0}$。其中 x 和 y 是变量，A 和 B 分别是变量 x 和 y 的系数，c 是常数。

求解线性方程

方程有两边：左边 (LHS) 和右边 (RHS)。当从方程的两边加或减去一个数字或变量时，方程仍然成立。类似地，如果我们用相同的变量或数字乘或除方程的 LHS 和 RHS，方程仍然成立。可以求解线性方程以找到变量的值。

例如 − $\mathrm{5x\:-\:21\:=\:4}$

让我们在方程的两边都加上 21

$$\mathrm{5x\:-\:21\:+\:21\:=\:4\:+\:21}$$

$$\mathrm{5x\:=\:25}$$

现在让我们将方程的两边都除以 5，我们得到

$$\mathrm{\frac{5x}{5}\:=\:\frac{25}{5}}$$

$$\mathrm{x\:=\:5}$$

一个方程一个变量

只有一个变量的线性方程可以用标准形式表示为 $\mathrm{Ax\:+\:c\:=\:0}$，其中 x 是变量，A 是变量 x 的系数，c 是常数。

例如，$\mathrm{8a\:+\:30\:=\:11}$

两个方程两个变量

只有一个变量的线性方程可以用标准形式表示为

$$\mathrm{Ax\:+\:By\:+\:C\:=\:Px\:+\:Qy\:+\:R}$$

其中 x 和 y 是变量，A 和 B 分别是变量 x 和 y 的系数，c 是常数。例如

$$\mathrm{4x\:+\:7y\:+\:12\:=\:3x\:+\:4y\:+\:11}$$

已解决的示例

1)阿迪尔的年龄是迪维娅年龄的两倍。10 年前，他的年龄是迪维娅年龄的三倍。他们现在的年龄是多少？

答案 - 让我们假设阿迪尔的年龄为 x，迪维娅的年龄为 y，

我们知道阿迪尔的年龄是迪维娅的两倍，那么我们可以写成

$$\mathrm{x\:=\:27\:\:\:\:\:\:\:Eq\:(1)}$$

10 年前，阿迪尔的年龄是迪维娅年龄的三倍，我们可以写成

$$\mathrm{x\:-\:10\:=\:3(y\:-\:10)}$$

简化后，我们得到

$$\mathrm{x\:-\:10\:=\:3y\:-\:30}$$

将变量和常数放在方程的两边。

$$\mathrm{x\:-\:3y\:=\:-30\:+\:10}$$

$$\mathrm{x\:-\:3y\:=\:-20}$$

将两边乘以 -1

$$\mathrm{3y\:-\:x\:=\:20\:\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

将 x 的值从方程 (1) 代入方程 (2)

$$\mathrm{3y\:-\:2y\:=\:20}$$

$$\mathrm{y\:=\:20}$$

因此，迪维娅的年龄是 20 岁。

将 y 的值代入方程 (1)。

$$\mathrm{x\:=\:2y}$$

$$\mathrm{x\:=\:40}$$

因此，阿迪尔的年龄是 40 岁。

2)两个数字相加得到 50。这两个数字之间的差是 10。用线性方程找出这两个数字。

答案 -

设这两个数字为 a 和 b。

那么，我们有两个方程

$$\mathrm{a\:+\:b\:=\:50\:\:\:\:\:\:Eqn\:(1)}$$

$$\mathrm{a\:-\:b\:=\:10\:\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

将两个方程相加，我们得到

$$\mathrm{a\:+\:b\:+\:a\:-\:b\:=\:50\:+\:10}$$

$$\mathrm{2a\:=\:60}$$

$$\mathrm{a\:=\:30}$$

将 a 的值代入方程 (1)

$$\mathrm{30\:+\:b\:=\:50}$$

$$\mathrm{b\:=\:20}$$

3)一个袋子装有 25 分和 50 分的硬币，总价值为 20 元。如果袋子总共有 56 个硬币。求袋中每种硬币的数量。

答案 - 设 25 分和 50 分硬币的数量分别为 x 和 y

那么我们有两个方程 -

$$\mathrm{0.25x\:+\:0.50y\:=\:20}$$

简化后，我们得到

$$\mathrm{x\:+\:2\:=\:80\:\:\:\:\:Eqn\:(1)}$$

袋子总共有 32 个硬币，所以我们可以写成

$$\mathrm{x\:+\:y\:=\:56\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

用方程 (1) 减去方程 (2)

$$\mathrm{x\:+\:2y\:-\:x\:-\:y\:=\:80\:-\:56}$$

$$\mathrm{y\:=\:24}$$

将 y 的值代入方程 (2)，我们得到

$$\mathrm{x\:=\:32}$$

因此，25 分硬币的数量是 32 个，50 分硬币的数量是 24 个。

4)有两个整数，它们相差 28。这两个数字的比率是 7:3。求这两个数字。

答案 - 设这两个数字为 x 和 y

这两个数字的比率是

$$\mathrm{\frac{x}{y}\:=\:\frac{7}{3}}$$

$$\mathrm{3x\:-\:7y\:=\:0\:\:\:\:\:Eqn\:(1)}$$

我们也知道这两个数字的差是 28

$$\mathrm{x\:-\:y\:=\:28}$$

将两边乘以 3，

$$\mathrm{3x\:-\:3y\:=\:84\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

用方程 (1) 减去方程 (2)，

$$\mathrm{3x\:-\:3y\:-\:3x\:+\:7y\:=\:84\:-\:0}$$

$$\mathrm{4y\:=\:84}$$

$$\mathrm{y\:=\:21}$$

将 y 的值代入方程 $\mathrm{x\:-\:y\:=\:28}$

$$\mathrm{x\:=\:49}$$

因此，这两个数字是 21 和 49。

5)较大的数字比较小的数字的 5 倍少 4。而它们的和是 38。求这两个数字。

答案 - 设较大的数字为 x，较小的数字为 y。

我们知道这两个数字的和是 38。因此，我们可以写成

$$\mathrm{x\:+\:y\:=\:38\:\:\:\:\:\:Eqn\:(1)}$$

我们也知道较大的数字比较小的数字的 5 倍少 4。

$$\mathrm{5y\:-\:x\:=\:4\:\:\:\:\:Eqn\:(2)}$$

将两个方程相加，我们得到

$$\mathrm{x\:+\:y\:+\:5y\:-\:x\:=\:38\:+\:4}$$

$$\mathrm{6y\:=\:42}$$

$$\mathrm{y\:=\:7}$$

将 y 的值代入方程 (1)，我们得到

$$\mathrm{x\:=\:31}$$

因此，我们可以说较大的数字是 31，较小的数字是 7。

结论

在本教程中，我们学习了线性方程以及线性方程的应用、线性方程的代数、线性方程的求解、一个方程一个变量和两个变量的方程。方程可以定义为等于常数或其他表达式的代数表达式。

线性方程也称为一元一次方程。线性方程的形式为 $\mathrm{Ax\:+\:c\:=\:0}$ 或 $\mathrm{Ax\:+\:By\:+\:c\:=\:0}$。其中 x 和 y 是变量，A 和 B 分别是变量 x 和 y 的系数，c 是常数。方程有两边；左边 (LHS) 和右边 (RHS)。当从方程的两边加或减去一个数字或变量时，方程仍然成立。

常见问题

1. 线性方程的实际应用是什么？

线性方程可以在我们的现实生活中以多种方式提供帮助，主要用于预测变量的值。例如，预测随时间推移的利润、直线围成的面积以及计算里程。

2. 可以用多少种方法求解线性方程？

线性方程可以通过代入法、消元法、交叉相乘法和图形法来求解。

3. 线性方程可以有多个解吗？

不可以，线性方程不能有多个解。尽管有时可能没有解。

4. 线性方程可以有多少个变量？

线性方程可以根据参数具有任意数量的变量。

5. 线性方程的指数幂是多少？

线性方程的指数幂为一。