在尝试理解一个跨学科领域（例如，机器学习）时，主要问题是需要多少数学知识以及掌握这些方法需要达到什么程度的数学水平。机器学习是关于数学的，因此它有助于计算可以从数据中获益以进行精确预测的内容。预测可以像从给定的一组图像中对狗或猫进行分类一样简单，或者根据过去的购买情况向客户推荐哪些商品。因此，正确理解驱动任何核心机器学习算法的数学概念至关重要。因此，它有助于…… 阅读更多

在数学中，函数在描述和建模各种现象方面起着至关重要的作用。函数是一个规则，它为每个输入值分配一个唯一的输出值。输入值集称为定义域，输出值集称为值域。但是，在某些情况下，值域与陪域不同，这可能会导致混淆。在这篇文章中，我们将探讨陪域和值域的区别。函数的陪域 函数或关系的“陪域”是一组可能从中产生的值…… 阅读更多

在几何学中，四边形是一个有四条边的多边形，而平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些与其他四边形不同的特定属性。什么是平行四边形？平行四边形是一种特殊的四边形，它有两对平行边。换句话说，平行四边形的对边平行且全等，这意味着它们具有相同的长度。平行四边形的对角也全等，这意味着它们具有相同的度量。平行四边形的属性 平行四边形最重要的属性之一是它的对边平行。这…… 阅读更多

指数增长和指数衰减是数学和科学中描述数量随时间变化的两个基本概念。指数增长和衰减都遵循以恒定变化率为特征的数学模型，但在数量随时间变化的方式上根本不同。什么是指数增长？指数增长是指感兴趣的数量随时间呈指数增长的情况。这意味着数量的增长率与其当前值成正比。换句话说，越多…… 阅读更多

几何学的学习很有趣。大小、距离和角度是这门被称为几何学的数学分支的主要关注点。几何学是数学的一个分支，其重点是形状。不难理解几何学如何被用来解决现实世界中的问题。它广泛应用于工程、建筑、艺术、体育等许多领域。今天，我们将讨论三角几何学中的一个特殊主题——全等。但首先，让我们定义全等，以便我们可以使用它。每当一个图形可以叠加在另一个图形上时…… 阅读更多

已知：给定的方程是：(i) $\frac{7x-2}{5x-1}=\frac{7x+3}{5x+4}$(ii) $(\frac{x+1}{x+2})^2=\frac{x+2}{x+4}$需要做的：我们必须解出给定的方程并验证答案。解：为了验证答案，我们必须找到变量的值并将它们代入方程。找到 LHS 和 RHS 的值，并检查两者是否相等。(i) 给定的方程是 $\frac{7x-2}{5x-1}=\frac{7x+3}{5x+4}$$\frac{7x-2}{5x-1}=\frac{7x+3}{5x+4}$交叉相乘，我们得到，$(5x+4)(7x-2)=(7x+3)(5x-1)$$5x(7x-2)+4(7x-2)=7x(5x-1)+3(5x-1)$$35x^2-10x+28x-8=35x^2-7x+15x-3$重新排列，我们得到，$35x^2-35x^2+18x-8x=-3+8$$10x=5$$x=\frac{5}{10}$$x=\frac{1}{2}$验证：LHS $=\frac{7x-2}{5x-1}$$=\frac{7(\frac{1}{2})-2}{5(\frac{1}{2})-1}$$=\frac{\frac{7}{2}-2}{\frac{5}{2}-1}$$=\frac{\frac{7-2\times2}{2}}{\frac{5-2\times1}{2}}$$=\frac{\frac{7-4}{2}}{\frac{5-2}{2}}$$=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}$$=\frac{3}{2}\times\frac{2}{3}$$=1$RHS $=\frac{7x+3}{5x+4}$$=\frac{7(\frac{1}{2})+3}{5(\frac{1}{2})+4}$$=\frac{\frac{7}{2}+3}{\frac{5}{2}+4}$$=\frac{\frac{7+2\times3}{2}}{\frac{5+2\times4}{2}}$$=\frac{\frac{7+6}{2}}{\frac{5+8}{2}}$$=\frac{\frac{13}{2}}{\frac{13}{2}}$$=\frac{13}{2}\times\frac{2}{13}$$=1$LHS = RHS 因此验证。(ii) 给定的方程是 $(\frac{x+1}{x+2})^2=\frac{x+2}{x+4}$$(\frac{x+1}{x+2})^2=\frac{x+2}{x+4}$交叉相乘，我们得到，$(x+1)^2(x+4)=(x+2)^2(x+2)$$(x^2+2(x)(1)+1^2)(x+4)=(x^2+2(x)(2)+2^2)(x+2)$$x(x^2+2x+1)+4(x^2+2x+1)=x(x^2+4x+4)+2(x^2+4x+4)$$x^3+2x^2+x+4x^2+8x+4=x^3+4x^2+4x+2x^2+8x+8$重新排列，我们得到，$x^3-x^3+6x^2-6x^2+9x-12x=8-4$$-3x=4$$x=\frac{-4}{3}$验证：LHS $=(\frac{x+1}{x+2})^2$$=(\frac{\frac{-4}{3}+1}{\frac{-4}{3}+2})^2$$=(\frac{\frac{-4+3\times1}{3}}{\frac{-4+2\times3}{3}})^2$$=(\frac{\frac{-4+3}{3}}{\frac{-4+6}{3}})^2$$=(\frac{\frac{-1}{3}}{\frac{2}{3}})^2$$=(\frac{-1}{3})^2\times(\frac{3}{2})^2$$=\frac{1}{9}\times\frac{9}{4}$$=\frac{1}{4}$RHS $=\frac{x+2}{x+4}$$=\frac{\frac{-4}{3}+2}{\frac{-4}{3}+4}$$=\frac{\frac{-4+2\times3}{3}}{\frac{-4+4\times3}{3}}$$=\frac{\frac{-4+6}{3}}{\frac{-4+12}{3}}$$=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{3}}$$=\frac{2}{3}\times\frac{3}{8}$$=\frac{1}{1}\times\frac{1}{4}$$=\frac{1}{4}$LHS = RHS 因此验证。阅读更多

已知：给定的方程是：(i) $\frac{2}{3x}-\frac{3}{2x}=\frac{1}{12}$(ii) $\frac{3x+5}{4x+2}=\frac{3x+4}{4x+7}$需要做的：我们必须解出给定的方程并验证答案。解：为了验证答案，我们必须找到变量的值并将它们代入方程。找到 LHS 和 RHS 的值，并检查两者是否相等。(i) 给定的方程是 $\frac{2}{3x}-\frac{3}{2x}=\frac{1}{12}$$\frac{2}{3x}-\frac{3}{2x}=\frac{1}{12}$分母 $3x$ 和 $2x$ 的最小公倍数是 $6x$$\frac{2(2)-3(3)}{6x}=\frac{1}{12}$$\frac{4-9}{6x}=\frac{1}{12}$$\frac{-5}{6x}=\frac{1}{12}$交叉相乘，我们得到，$12(-5)=(1)(6x)$$-60=6x$$6x=-60$$x=\frac{-60}{6}$$x=-10$验证：LHS $=\frac{2}{3x}-\frac{3}{2x}$$=\frac{2}{3(-10)}-\frac{3}{2(-10)}$$=\frac{2}{-30}-\frac{3}{-20}$$=\frac{-1}{15}+\frac{3}{20}$$=\frac{-1\times4+3\times3}{60}$ ($15$ 和 $20$ 的最小公倍数是 $60$) $=\frac{-4+9}{60}$$=\frac{5}{60}$$=\frac{1}{12}$RHS $=\frac{1}{12}$LHS = RHS 因此验证。(ii) 给定的方程是 $\frac{3x+5}{4x+2}=\frac{3x+4}{4x+7}$$\frac{3x+5}{4x+2}=\frac{3x+4}{4x+7}$交叉相乘，我们得到，$(3x+5)(4x+7)=(3x+4)(4x+2)$$3x(4x+7)+5(4x+7)=3x(4x+2)+4(4x+2)$$12x^2+21x+20x+35=12x^2+6x+16x+8$重新排列，我们得到，$12x^2-12x^2+41x-22x=8-35$$19x=-27$$x=\frac{-27}{19}$验证：LHS $=\frac{3x+5}{4x+2}$$=\frac{3(\frac{-27}{19})+5}{4(\frac{-27}{19})+2}$$=\frac{\frac{3\times(-27)}{19}+5}{\frac{4\times(-27)}{19}+2}$$=\frac{\frac{-81+5\times19}{19}}{\frac{-108+2\times19}{19}}$$=\frac{\frac{-81+95}{19}}{\frac{-108+38}{19}}$$=\frac{\frac{14}{19}}{\frac{-70}{19}}$$=\frac{14}{19}\times\frac{19}{-70}$$=\frac{1}{1}\times\frac{1}{-5}$$=\frac{-1}{5}$RHS $=\frac{3x+4}{4x+7}$$=\frac{3(\frac{-27}{19})+4}{4(\frac{-27}{19})+7}$$=\frac{\frac{3\times(-27)}{19})+4}{\frac{4\times(-27)}{19})+7}$$=\frac{\frac{-81+19\times4}{19}}{\frac{-108+19\times7}{19}}$$=\frac{\frac{-81+76}{19}}{\frac{-108+133}{19}}$$=\frac{\frac{-5}{19}}{\frac{25}{19}}$$=\frac{-5}{19}\times\frac{19}{25}$$=\frac{-1}{1}\times{1}{5}$$=\frac{-1}{5}$LHS ... 阅读更多

已知：已知方程为：（i）$\frac{y-(7-8y)}{9y-(3+4y)}=\frac{2}{3}$（ii）$\frac{6}{2x-(3-4x)}=\frac{2}{3}$要求：解出上述方程并验证答案。解答：为了验证答案，我们需要求出变量的值，并将它们代入方程。求出等式左边(LHS)和等式右边(RHS)的值，并检查它们是否相等。(i) 已知方程为 $\frac{y-(7-8y)}{9y-(3+4y)}=\frac{2}{3}$$\frac{y-7+8y}{9y-3-4y}=\frac{2}{3}$$\frac{9y-7}{5y-3}=\frac{2}{3}$交叉相乘，得到 $3(9y-7)=(2)(5y-3)$$3(9y)-3(7)=2(5y)-2(3)$$27y-21=10y-6$整理后，得到 $27y-10y=-6+21$$17y=15$$y=\frac{15}{17}$验证：LHS $=\frac{y-(7-8y)}{9y-(3+4y)}$$=\frac{\frac{15}{17}-(7-8(\frac{15}{17}))}{9(\frac{15}{17})-(3+4(\frac{15}{17}))}$$=\frac{\frac{15}{17}-(7-(\frac{-8\times15}{17}))}{\frac{9\times15}{17}-(3+\frac{4\times15}{17})}$$=\frac{\frac{15}{17}-(7-(\frac{120}{17}))}{\frac{135}{17}-(3+\frac{60}{17})}$$=\frac{\frac{15}{17}-(\frac{7\times17-120}{17})}{\frac{135}{17}-(\frac{3\times17+60}{17})}$$=\frac{\frac{15}{17}-(\frac{119-120}{17})}{\frac{135}{17}-(\frac{51+60}{17})}$$=\frac{\frac{15}{17}-(\frac{-1}{17})}{\frac{135}{17}-(\frac{111}{17})}$$=\frac{\frac{15+1}{17}}{\frac{135-111}{17}}$$=\frac{\frac{16}{17}}{\frac{24}{17}}$$=\frac{16}{17}\times\frac{17}{24}$$=\frac{2}{3}$RHS $=\frac{2}{3}$LHS = RHS 验证完毕。(ii) 已知方程为 $\frac{6}{2x-(3-4x)}=\frac{2}{3}$$\frac{6}{2x-(3-4x)}=\frac{2}{3}$$\frac{6}{2x-3+4x}=\frac{2}{3}$$\frac{6}{6x-3}=\frac{2}{3}$交叉相乘，得到 $3(6)=2(6x-3)$$18=2(6x)-2(3)$$18=12x-6$整理后，得到 $12x=18+6$$12x=24$$x=\frac{24}{12}$$x=2$验证：LHS $=\frac{6}{2x-(3-4x)}$$=\frac{6}{2(2)-(3-4(2))}$$=\frac{6}{4-(3-8)}$$=\frac{6}{4+5}$$=\frac{6}{9}$$=\frac{2}{3}$RHS $=\frac{2}{3}$LHS = RHS 验证完毕。阅读更多

已知：已知方程为：（i）$\frac{1-9y}{19-3y}=\frac{5}{8}$（ii）$\frac{2x}{3x+1}=1$要求：解出上述方程并验证答案。解答：为了验证答案，我们需要求出变量的值，并将它们代入方程。求出等式左边(LHS)和等式右边(RHS)的值，并检查它们是否相等。(i) 已知方程为 $\frac{1-9y}{19-3y}=\frac{5}{8}$$\frac{1-9y}{19-3y}=\frac{5}{8}$交叉相乘，得到 $8(1-9y)=(5)(19-3y)$$8(1)-8(9y)=5(19)-5(3y)$$8-72y=95-15y$整理后，得到 $72y-15y=8-95$$57y=-87$$y=\frac{-87}{57}$$y=\frac{-29}{19}$验证：LHS $=\frac{1-9y}{19-3y}$$=\frac{1-9(\frac{-29}{19})}{19-3(\frac{-29}{19})}$$=\frac{1+\frac{29\times9}{19}}{19+\frac{3\times29}{19}}$$=\frac{1+\frac{261}{19}}{19+\frac{87}{19}}$$=\frac{\frac{19\times1+261}{19}}{\frac{19\times19+87}{19}}$$=\frac{\frac{19+261}{19}}{\frac{361+87}{19}}$$=\frac{\frac{280}{19}}{\frac{448}{19}}$$=\frac{280}{19}\times\frac{19}{448}$$=\frac{280}{448}$$=\frac{5}{8}$RHS $=\frac{5}{8}$LHS = RHS 验证完毕。(ii) 已知方程为 $\frac{2x}{3x+1}=1$$\frac{2x}{3x+1}=1$交叉相乘，得到 $2x=1(3x+1)$$2x=3x+1$整理后，得到 $3x-2x=-1$$x=-1$验证：LHS $=\frac{2x}{3x+1}$$=\frac{2(-1)}{3(-1)+1}$$=\frac{-2}{-3+1}$$=\frac{-2}{-2}$$=1$RHS $=1$LHS = RHS 验证完毕。阅读更多

已知：已知方程为：（i）$\frac{2y+5}{y+4}=1$（ii）$\frac{2x+1}{3x-2}=\frac{5}{9}$要求：解出上述方程并验证答案。解答：为了验证答案，我们需要求出变量的值，并将它们代入方程。求出等式左边(LHS)和等式右边(RHS)的值，并检查它们是否相等。(i) 已知方程为 $\frac{2y+5}{y+4}=1$$\frac{2y+5}{y+4}=1$交叉相乘，得到 $2y+5=(1)(y+4)$$2y+5=y+4$整理后，得到 $2y-y=4-5$$y=-1$验证：LHS $=\frac{2y+5}{y+4}$$=\frac{2(-1)+5}{(-1)+4}$$=\frac{-2+5}{-1+4}$$=\frac{3}{3}$$=1$RHS $=1$LHS = RHS 验证完毕。(ii) 已知方程为 $\frac{2x+1}{3x-2}=\frac{5}{9}$$\frac{2x+1}{3x-2}=\frac{5}{9}$交叉相乘，得到 $9(2x+1)=5(3x-2)$$9(2x)+9(1)=5(3x)-5(2)$$18x+9=15x-10$整理后，得到 $18x-15x=-10-9$$3x=-19$$x=\frac{-19}{3}$验证：LHS $=\frac{2x+1}{3x-2}$$=\frac{2(\frac{-19}{3})+1}{3(\frac{-19}{3})-2}$$=\frac{\frac{2\times(-19)}{3}+1}{-19-2}$$=\frac{\frac{-38+1\times3}{3}}{-21}$$=\frac{\frac{-38+3}{3}}{-21}$$=\frac{\frac{-35}{3}}{-21}$$=\frac{-35}{3\times-21}$$=\frac{5}{3\times3}$$=\frac{5}{9}$RHS $=\frac{5}{9}$LHS = RHS 验证完毕。阅读更多