二元一次方程组的交叉相乘法

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引言

交叉相乘法用于解二元一次方程组。形如 y = mx + b 的代数方程称为一次方程。在这个方程中，m 是斜率，b 是截距。x 和 y 是这条直线到 x 轴和 y 轴的距离。每个方程的解代表直线上的一个点。

形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且 a 和 b 的值都不为零。现在这个方程将被称为二元一次方程，其解给出 x 和 y 的一对解。

二元一次方程组

如果两个一次方程具有相同的两个变量 x 和 y，则这类方程称为“二元一次方程组”。

代数上，二元一次方程组 x 和 y 的一般方程为：a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0，其中 a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂ 都是实数，且 a₁² + b₁² ≠ 0，a₂² + b₂² ≠ 0。

二元一次方程的几何表示是一条直线。

二元一次方程组表示两条直线，并存在以下三种可能性：

• 两条直线相交于一点：

• 两条直线不相交，这意味着它们是平行的：

• 两条直线重合：

相容性和不相容性

设 a₁x + b₁y + c₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂ = 0 为两个线性方程组

没有解的二元一次方程组称为**不相容**的二元一次方程组。具有解的二元一次方程组称为**相容**的二元一次方程组。相应的二元一次方程组具有无限多个不同的公共解，这样的方程组称为依赖的二元一次方程组，它总是相容的。

如果两条直线显示以下条件：

• 两条直线相交于一点，给出唯一解：

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ 这表明该方程组是相容的

• 两条直线可能互相平行，没有解：

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ 这表明该方程组是不相容的。

• 两条直线可能重合，给出无限多个解：

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ 这表明该方程组是依赖的（相容的）。

因此，很明显，二元一次方程组的解的数量范围从 0 到 ∞。

解二元一次方程组：交叉相乘法

这是一种解二元一次方程组的代数方法

让我们讨论这种方法如何适用于任何二元一次方程组。二元一次方程为

a₁x + b₁y + c₁ = 0 → (1)

a₂x + b₂y + c₂ = 0 → (2)

为了从上述两个方程确定 x 和 y 的值，我们必须遵循以下步骤：

**步骤 1** - 用 b₂ 乘方程 (1)，用 b₁ 乘方程 (2)，我们将得到

b₂a₁x + b₂b₁y + b₂c₁ = 0 → (3)

b₁a₂x + b₁b₂y + b₁c₂ = 0 → (4)

**步骤 2** - 通过从 (3) 减去 (4)，我们得到：

(b₂a₁ - b₁a₂)x + (b₂b₁ - b₁b₂)y + (b₂c₁ - b₁c₂) = 0

(b₂a₁ - b₁a₂)x = (b₁c₂ - b₂c₁)

所以，x = (b₁c₂ - b₂c₁)/(a₁b₂ - a₂b₁) 且 b₂a₁ - b₁a₂ ≠ 0 → (5)

**步骤 3** - 将方程 (5) 中 x 的值代入 (1) 或 (2)，得到

y = (c₁a₂ - c₂a₁)/(a₁b₂ - a₂b₁) → (6)

我们可以用以下方式写出由方程 (5) 和 (6) 给出的解：

x/(b₁c₂ - b₂c₁) = y/(c₁a₂ - c₂a₁) = 1/(a₁b₂ - a₂b₁) → (7)

方程 (7) 可以用下图表示，这清楚地表明了为什么这种方法被称为“交叉相乘法”。

其他方法

• **代入法** - 我们通过用另一个变量来表示一个变量的值来**代入**求解给定的二元一次方程组。这种方法称为代入法。

• **消元法** - 我们首先**消去**一个变量以得到一个一元一次方程

• **图像法** - 二元一次方程组的图像由两条直线表示。当两条直线相交时，它给出唯一解；当它们重合时，它给出无限多个解；如果它们平行，则没有解。

• **矩阵法** - 将二元一次方程组写成矩阵形式，并为 2×2 方程组求出三个行列式 D、Dx、Dy。这三个行列式分别是系数行列式、x 行列式和 y 行列式。现在我们有了行列式，必须用这个公式求 x 和 y 的值：x = Dx/D，y = Dy/D

例题

1) 求出给定方程中 x 和 y 的值

4x + 3y - 6 = 0

x + 3y - 3 = 0

答案：

x/(-9 - (-18)) = y/(-6 - (-12)) = 1/(12 - 3)

x/9 = y/6 = 1/9

取 x/9 = 1/9 和 y/6 = 1/9

x = 1 和 y = 2/3

2) 三辆自行车和两辆自行车共 1650 元。五辆自行车和三辆自行车共 2650 元。求两辆自行车和两辆自行车的成本？

答案：设一辆自行车的成本 = x 元

一辆自行车的成本 = y 元

根据题意 3x + 2y = 1650 →(1)

5x + 3y = 2650 →(2)

用交叉相乘法解 (1) 和 (2)，我们得到

x/(2×2650 - 3×1650) = y/(1650×5 - 2650×3) = 1/(3×3 - 5×2)

x/(5300 - 4950) = y/(8250 - 7950) = 1/(9 - 10)

x/350 = y/300 = -1

x = -350 和 y = -300

一辆自行车的成本 = 350 元

一辆自行车的成本 = 300 元

两辆自行车和两辆自行车的成本

= 2 × 350 + 2 × 300

= 700 + 600

= 1300 元

结论

在本教程中，我们讨论了二元一次方程组。并学习了求解二元一次方程组的各种方法。其中交叉相乘法是最容易使用和求解的方法。

常见问题

1. 什么是一次方程？

形如 y = mx + b 的方程。

2. 你如何理解二元一次方程组这个术语？

具有相同变量 x 和 y 的两个一次方程称为二元一次方程组。

3. 哪个二元一次方程组将被称为不相容的？

没有解的二元一次方程组称为不相容的。

4. 我们使用什么方法来解二元一次方程组？

交叉相乘法、代入法、矩阵法、消元法和图像法。