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法学将N表示为K个非零整数之和的不同方法
问题“将N表示为K个非零整数之和的不同方法”在现实世界中有很多应用案例。
密码学 − 在密码学中，特定的加密方法是利用将数字N编码为K个非零整数之和的概念设计的。
将整数N表示为K个非零整数之和，在优化方法的背景下，可能作为不同优化问题的子问题出现。
机器学习 − 在机器学习中，可以通过使用将整数N表示为K个非零整数之和的问题来创建描述数据点分布的特征向量。
解释
现在让我们解码这个问题。
假设，我们给定两个正整数N和K，我们需要找到K个非零整数，它们的和等于N。例如，如果N=10且K=3，我们需要找到三个非零整数，它们的和等于10。在这种情况下，一些可能的解是 −
1 + 4 + 5 2 + 3 + 5 2 + 4 + 4
请注意，在这些解的每一个中，我们都有K=3个非零整数加起来等于N=10。
有不同的方法可以解决这个问题，让我们讨论每一种方法。
递归方法
使用递归方法查找将N表示为K个非零整数之和的不同方法的分步算法。
在主函数中输入N和K的值。
创建函数f(N, K)，它返回N可以表示为K个非零整数之和的总方法数。
如果N大于0，则返回1；否则，如果K = 1，则返回0。（基本情况）。
如果N == 0或K > N，则返回0。（基本情况）。
创建一个变量count来存储结果。
将变量count的值设置为0。
对于每个整数I，从1到min(N-K+1, N-1)
递归计算f(N-i, K-1)。
将结果添加到count中。
返回count。
示例
上述算法的实现
#include <iostream>
using namespace std;
int f(int N, int K) {
if (K == 1) {
return (N > 0) ? 1 : 0; // base case
}
if (N <= 0 || K > N) {
return 0; // base case
}
int count = 0;
for (int i = 1; i <= min(N-K+1, N-1); i++) {
count += f(N-i, K-1);
}
return count;
}
int main() {
int N = 5, K = 2;
int ways = f(N, K);
cout << "Number of ways to represent " << N << " as the sum of " << K << " non-zero integers: " << ways << endl;
return 0;
}
输出
Number of ways to represent 5 as the sum of 2 non-zero integers: 4
复杂度
时间复杂度：O(N ^ K)。
空间复杂度：O(K)
二项式系数公式
可以使用星号和条形图组合方法来获得将正整数N表示为K个非零整数之和的方法数的公式。
想象一行N个星号(*)，代表给定整数的N个分区单元。可以使用K-1个竖线(|), 将星号行分成K个段，来表示分区的K个非零整数。
例如，将10分成3个非零整数。可以使用下面的星号和竖线行来表示 −
* * | * * * | * * * * *
此图的第一个部分表示数字2，第二个部分表示数字3，第三个部分表示数字5。
因此，将K-1个竖线排列在N个星号行中的方法数等于将N表示为K个非零整数之和的方法数。为此，我们使用公式：$\mathrm{C(N\:+\:K\:-\:1,\:K\:-\:1)}$。
根据二项式系数公式，$\mathrm{C(n,k)\:=\:n!\:/(k!*(n-k)!)}$。
但在我们的例子中，我们需要排除包含0的可能性。为了排除包含0作为其中一个加数的分区，我们可以使用以下方法 −
从N中减去1得到N-1。
将N-1分成K-1个非负整数。
将步骤2中获得的K-1个非负整数中的每一个加1，得到K个非零整数，它们的和为N。
这种方法之所以有效，是因为每个加数的最小可能值是1（因为我们想要非零整数），因此我们从N中减去1以确保有足够的单元剩余分配给K个加数。
因此，我们得到公式：ways = C(N-1, K-1)
假设我们想找到将6表示为4个非零整数之和的方法数。我们可以使用前面推导出的公式，即 −
C(N-1, K-1) = C(6-1, 4-1) = C(5, 3) = 10
这告诉我们，将6分成4个非零整数有10种方法。
它们是 −
1 + 1 + 1 + 3
1 + 1 + 2 + 2
1 + 1 + 3 + 1
1 + 2 + 1 + 2
1 + 2 + 2 + 1
1 + 3 + 1 + 1
2 + 1 + 1 + 2
2 + 1 + 2 + 1
2 + 2 + 1 + 1
3 + 1 + 1 + 1
方法
让我们讨论一下实现上述方法的分步算法 −
在主函数中输入N和K的值。
使用上述公式计算方法数。
打印ways的值。
现在让我们编写一些代码。
示例
使用二项式系数方法的代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
int binomial(int n, int k) {
int res = 1;
if (k > n - k) {
k = n - k;
}
for (int i = 0; i < k; ++i) {
res *= (n - i);
res /= (i + 1);
}
return res;
}
int main() {
int N = 7, K = 2;
int ways = binomial(N - 1, K - 1);
cout << "Number of ways to represent " << N << " as the sum of " << K << " non-zero integers: " << ways << endl;
return 0;
}
输出
Number of ways to represent 7 as the sum of 2 non-zero integers: 6
复杂度
时间复杂度：O(K)。
空间复杂度：O(1)
结论
在本文中，我们试图解释如何找到将N表示为K个非零整数之和的不同方法。我希望这篇文章能帮助你更好地理解这个概念。
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