低通滤波器和高通滤波器的特殊功能

低通滤波器作为积分器

在低频下，容抗趋于无穷大，在高频下容抗趋于零。因此，在低频下，LPF 有有限的输出，在高频下输出为零，这与积分器电路相同。因此，可以说低通滤波器可以作为积分器工作。

为了使 LPF 充当积分器

$$τ >> T$$

其中 $τ = RC$ 为电路的时间常数

则 C 上的电压变化非常小。

$$V_{i}=iR+\frac{1}{C} \int i \:dt$$

$$V_{i}\cong iR$$

$$因为 \:\: \frac{1}{C} \int i \:dt << iR$$

$$i=\frac{V_{i}}{R}$$

$$ 因为 \:\: V_{0}=\frac{1}{C}\int i dt =\frac{1}{RC}\int V_{i}dt=\frac{1}{\tau }\int V_{i} dt$$

$$输出 \propto \int 输入$$

因此，具有大时间常数的 LPF 会产生与输入积分成正比的输出。

当实际低通滤波器作为积分器工作时的频率响应如下所示。

如果给积分器电路一个正弦波输入，则输出将是余弦波。如果输入是方波，则输出波形的形状会发生变化，如下面的图所示。

在低频下，微分器的输出为零，而在高频下，其输出为某个有限值。这与微分器相同。因此，据说高通滤波器充当微分器。

如果 RC 高通滤波器的时间常数远小于输入信号的周期，则电路表现为微分器。然后，与跨 C 的压降相比，跨 R 的压降非常小。

$$V_{i}=\frac{1}{C}\int i \:dt +iR$$

但 $iR=V_{0}$ 很小

$$因为 V_{i}=\frac{1}{C}\int i \:dt$$

$$i=\frac{V_{0}}{R}$$

$$因为 \: V_{i} =\frac{1}{\tau }\int V_{0} \:dt$$

其中 $τ =RC$ 为电路的时间常数。

两边求导，

$$\frac{dV_{i}}{dt}=\frac{V_0}{\tau }$$

$$V_{0}=\tau \frac{dV_{i}}{dt}$$

$$因为 \:V_{0}\propto \frac{dV_{i}}{dt}$$

输出与输入信号的微分成正比。

当实际高通滤波器作为微分器工作时的频率响应如下所示。

如果给微分器电路一个正弦波输入，则输出将是余弦波。如果输入是方波，则输出波形的形状会发生变化，如下面的图所示。

这两个电路主要用于各种电子应用中。当输入电压稳定变化时，微分器电路产生恒定的输出电压。当施加的输入电压恒定时，积分器电路产生稳定变化的输出电压。

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