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法学使用C++查找不能被[2, 10]范围内任何数整除的数字
在这篇文章中，我们将讨论如何找到从1到n（给定）的范围内，不能被2到10之间任何数字整除的数字。让我们通过一些例子来理解这一点：
Input : num = 14 Output : 3 Explanation: There are three numbers, 1, 11, and 13, which are not divisible. Input : num = 21 Output : 5 Explanation: There are five numbers 1, 11, 13, 17, and 19, which are not divisible.
寻找解决方案的方法
简单方法
如果我们检查从1到num的每个数字，看它是否能被2到10之间任何数字整除。如果不能，则递增计数器。但是这种方法会花费太多时间，从而增加时间复杂度。
高效方法
我们可以想到的最佳方法是首先找到从1到num的范围内，能被[2, 10]范围内任何数字整除的数字，然后用num减去这个计数。
所以首先，我们需要找到所有能被2、3、4、5、10整除的数字。但是能被4、6、8、10整除的数字都能被2整除，能被3整除的数字都能被6和9整除。
我们需要找到所有能被2、3、5和7整除的数字。这可以通过容斥原理计算。
容斥原理
它指出，我们应该包含每个单个集合的大小，应该去除成对交集的大小，所有三个集合的交集大小应该被添加，以此类推。
查找所有数字的公式为：
= NUM – X + Y – Z + A.
其中：
X = num divisible by 2, 3, 5, 7 ( [num / 2] + [num / 3] + [num / 5] + [num / 7] ) Y = num divisible by (2,3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 5), (3, 7) and (5, 7) = ( [num / (2 * 3)] + [num / (2 * 5)] + [num / (2 * 7)] + [num / (3 * 5)] + num / (3 * 7)] + [num / (5 * 7)] ). Z = num divisible by (2, 3, 5), (2, 3, 7), (2, 5, 7) and (3, 5, 7) = ( [num / (2 * 3 * 5)] + [num / (2 * 3 * 7)] + [num / (2 * 5 * 7)] + [num / (3 * 5 * 7)] ) A = num divisible by (2, 3, 5, 7) = ( [num / (2 * 3 * 5 * 7)] )
示例
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n = 21, result;
// applying formula from inclusion - exclusion principle
// to find the count of numbers not divisible by any number from 2 to 10.
result = n - n / 2 - n / 3 - n / 5 - n / 7
+ n / 6 + n / 10 + n / 14 + n / 15 + n / 21 + n / 35
- n / 30 - n / 42 - n / 70 - n / 105 + n / 210;
cout << "The count of numbers, not div by [2, 10] is: " << result;
return 0;
}输出
The count of numbers, not div by [2, 10] is: 5
结论
在这篇文章中，我们讨论了如何找到从2到n范围内不能被整除的数字。为了解决这个问题，我们讨论了容斥原理。我们还讨论了C++程序，以应用该方法来获得具有O(1)复杂度的结果。你可以使用其他语言（如Java、C、Python等）编写此程序。我们希望您觉得这篇文章有帮助。
更新于：2021年11月26日
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