一阶系统暂态响应

为了理解一阶系统的暂态响应，考虑一个具有单位负反馈的闭环系统的框图。

具有单位负反馈的系统的开环增益G(s)由下式给出：

$$G(s)=\frac{1}{s\tau}$$

具有单位负反馈的系统的闭环传递函数为：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{1}{s\tau+1}\:\:\:...(1)$$

其中：

• R(s) = 输入信号r(t)的拉普拉斯变换，

• C(s) = 输出信号c(t)的拉普拉斯变换，

• τ = 系统的时间常数。

我们可以看到，闭环传递方程的分母项中s的幂为1。因此，该系统被称为一阶系统。

$$C(s)=\frac{1}{s\tau+1}R(s)\:\:\:...(2)$$

一阶系统的单位阶跃响应

将单位阶跃信号作为输入应用于一阶系统：

$$r(t)=u(t)$$

对两边进行拉普拉斯变换：

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})(\frac{1}{s})=\frac{1}{s(s\tau+1)}\:\:\:....(3)$$

通过对方程(3)进行部分分式分解，我们得到：

$$\frac{1}{s(s\tau+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s\tau+1)}=\frac{A(s\tau+1)+Bs}{s(s\tau+1)}\:\:\:\:...(4)$$

比较方程(4)的左右两边，我们得到：

$$A(s\tau+1)+Bs=1\:\:\:...(5)$$

通过对方程(5)两边的常数项进行比较，我们得到A = 1。将A = 1代入方程(5)，我们有：

$$B+\tau=0\Rightarrow\:B=-\tau$$

现在，将A和B的值代入方程(4)，我们得到：

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{\tau}{s\tau+1}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}\:\:\:...(6)$$

对方程(6)两边进行拉普拉斯逆变换：

$$C(t)=(1-e^{\frac{-t}{\tau}})u(t)\:\:\:...(7)$$

方程(7)表示一阶系统对单位阶跃输入的响应，它既有稳态项也有暂态项。当t = 0时，单位阶跃响应c(t)的值为零。对于t的所有正值，它将从零逐渐增加到稳态值一。

一阶系统的单位斜坡响应

在一阶系统的输入端使用单位斜坡信号。

$$\because\:\:r(t)=t\:u(t)$$

进行拉普拉斯变换：

$$R(s)=\frac{1}{s^{2}}$$

由于一阶系统的响应由下式给出：

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})R(s)\:\:\:\:...(8)$$

将R(s)的值代入方程(8)，我们有：

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})(\frac{1}{s^{2}})\:\:\:\:...(9)$$

通过进行部分分式分解求解，我们得到：

$$C(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{\tau}{s}+\frac{\tau}{s+\frac{1}{\tau}}\:\:\:...(10)$$

对方程(10)进行拉普拉斯逆变换，我们有：

$$C(t)=(t-\tau+\tau\:e^{-t/\tau})u(t)\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:...(11)$$

方程(11)显示了一阶系统对单位斜坡输入的时间响应，对于t的所有正值，c(t)都遵循单位斜坡信号。但是，与输入信号存在τ个单位的偏差。从方程(t)中也可以看出，c(t)既有稳态项也有暂态项。

一阶系统的脉冲响应

在一阶系统的输入端施加单位脉冲响应：

$$r(t)=\delta(t)$$

对两边进行拉普拉斯变换：

$$R(s)=1$$

由于一阶系统的响应为：

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})R(s)\:\:\:\:...(12)$$

将R(s) = 1代入方程(12)，我们有

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})(1)=(\frac{1}{s\tau+1})$$

$$C(s)=\frac{1}{\tau(s+1/\tau)}=\frac{1}{\tau}(\frac{1}{s+1/\tau})\:\:\:\:...(13)$$

对方程(13)两边进行拉普拉斯逆变换，我们得到：

$$C(t)=\frac{1}{\tau}e^{(-t/\tau)}u(t)\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:...(14)$$

方程(14)显示了一阶系统的单位脉冲响应。对于t的正值，c(t)是一个指数衰减信号。

一阶系统时间响应总结

Saini Manish Kumar

更新于：2021年5月29日

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