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法律利用拉普拉斯变换分析串联RL电路的阶跃响应和冲激响应
图1所示为一个由电阻(R)和电感(L)串联组成的电路。假设开关(S)在时间$\mathrm{\mathit{ t=\mathrm{0}}}$时闭合。
串联RL电路的阶跃响应
为了得到串联RL电路的阶跃响应，施加到电路的输入$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}Vu\left ( t \right )}}$$
现在，根据基尔霍夫电压定律(KVL)，我们得到以下微分方程：
$$\mathrm{\mathit{Vu\left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{+}L\frac{di\left ( t \right )}{dt}}}$$
对两边进行拉普拉斯变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{\frac{V}{s}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{+}L\left [ sI\left ( s \right )-i\left ( \mathrm{0}^{-} \right ) \right ]}}$$
电感中的电流不能突变。因此，在$\mathrm{\mathit{ t\mathrm{=}\mathrm{0}}}$之前，电路中的电流为零，即电感中的初始电流为$\mathrm{\mathit{i\left ( \mathrm{0}^{-} \right )\mathrm{=}\mathrm{0}}}$。于是：
$$\mathrm{\mathit{\frac{V}{s}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{+}sLI\left ( s \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\frac{V}{s}\mathrm{=}\left ( R\mathrm{+}sL \right )I\left ( s \right )}}$$
因此，电路电流由下式给出：
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{V}{s\left ( R\mathrm{+}sL \right )}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{V}{L}\left [ \frac{\mathrm{1}}{s\left ( s\mathrm{+}\frac{R}{L} \right )} \right ]\mathrm{=}\frac{V}{L}\cdot \frac{L}{R}\left [ \frac{\mathrm{1}}{s}-\frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{+}\frac{R}{L} \right )} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{V}{R}\left [ \frac{\mathrm{1}}{s}-\frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{+}\frac{R}{L} \right )} \right ]}}$$
对上述方程进行拉普拉斯反变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{i\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{V}{R}\left [ \mathrm{1}-e^{-\left (R/L \right )t} \right ]}}$$
这就是串联RL电路的阶跃响应。
串联RL电路的冲激响应
为了得到串联RL电路(图1所示)的冲激响应，施加到电路的输入$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\delta \left ( t \right )}}$$
根据KVL，得到电路的以下微分方程：
$$\mathrm{\mathit{\delta \left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{+}L\frac{di\left ( t \right )}{dt}}}$$
对两边进行拉普拉斯变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\mathbf{L}}\left [ \delta \left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\mathrm{\mathbf{L}}\left [ Ri\left ( t \right ) \right ]\mathrm{+}\mathrm{\mathbf{L}}\left [ L\frac{di\left ( t \right )}{dt} \right ]}}$$
(L为拉普拉斯变换算子，$\mathrm{\mathit{L}}$为电感的电感量)
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \mathrm{1}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{+}L\left [ sI\left ( s \right )-i\left ( \mathrm{0}^{-} \right ) \right ]}}$$
忽略初始条件，即$\mathrm{\mathit{i\left ( \mathrm{0}^{-} \right )\mathrm{=}\mathrm{0}}}$。则：
$$\mathrm{\mathit{\left ( R\mathrm{+}sL \right )I\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
因此，对于冲激输入，RL串联电路中的电流为：
$$\mathrm{\mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\left ( R\mathrm{+}sL \right )}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{L\left ( s\mathrm{+}\frac{R}{L} \right )}}}$$
进行拉普拉斯反变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{L^{-\mathrm{1}}\left [ I\left ( s \right ) \right ]\mathrm{=}L^{-\mathrm{1}}\left [ \frac{\mathrm{1}}{L\left ( s\mathrm{+}\frac{R}{L} \right )} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore i\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{L}e^{-\left ( R/L \right )t}u\left ( t \right )}}$$
这就是串联RL电路的冲激响应。
数值示例
求图2所示串联RL电路的阶跃响应和冲激响应。
解答
描述图2所示串联RL电路的微分方程为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\mathrm{20}i\left ( t \right )\mathrm{+}\mathrm{5}\frac{di\left ( t \right )}{dt}}}$$
对两边进行拉普拉斯反变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{20}I\left ( s \right )\mathrm{+}\mathrm{5}\left [ sI\left ( s \right )-i\left ( \mathrm{0}^{-} \right ) \right ]}}$$
忽略电路的初始条件，得到：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{20}I\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\mathrm{5} sI\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{5}I\left ( s \right )\left ( s\mathrm{\: +\: }\mathrm{4} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{X\left ( s \right )}{\mathrm{5}\left ( s\mathrm{\: +\: }\mathrm{4} \right )}}}$$
参考图2的电路，电路的输出为：
$$\mathrm{\mathit{Y\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{20}I\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{20}\left [ \frac{X\left ( s \right )}{\mathrm{5}\left ( s\mathrm{\: +\: }\mathrm{4} \right )} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Y\left ( s \right )\mathrm{=}\left [ \frac{\mathrm{4}}{\left ( s\mathrm{\: +\: }\mathrm{4} \right )} \right ]X\left ( s \right )}}$$
对于单位阶跃响应
$$\mathrm{输入,\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}u\left ( t \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{s}}}$$
因此，电路的输出为：
$$\mathrm{\mathit{Y\left ( s \right )\mathrm{=}\left [ \frac{\mathrm{4}}{\left ( s\mathrm{\: +\: }\mathrm{4} \right )} \right ]\left ( \frac{\mathrm{1}}{s} \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{4}}{s\left ( s\mathrm{\: +\: }\mathrm{4} \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Y\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{s}-\frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{\: +\: }\mathrm{4} \right )}}}$$
进行拉普拉斯反变换，电路的阶跃响应由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{L^{-\mathrm{1}}\left [ Y\left ( s \right ) \right ]\mathrm{=}L^{-\mathrm{1}}\left [ \frac{\mathrm{1}}{s} \right ]-L^{-\mathrm{1}}\left [ \frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{\, +\,}\mathrm{4} \right )} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow y\left ( t \right )\mathrm{=}u\left ( t \right )-e^{-\mathrm{4}t}u\left ( t \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore y\left ( t \right )\mathrm{=}u\left ( t \right )\left [\mathrm{1} -e^{-\mathrm{4}t} \right ]}}$$
对于冲激响应
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\delta \left ( t \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
$$\mathrm{输出,\mathit{ Y\left ( s \right )\mathrm{=}\left [ \frac{\mathrm{4}}{\left ( s\mathrm{\, +\,}\mathrm{4} \right )} \right ]\left ( \mathrm{1} \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{4}}{\left ( s\mathrm{\, +\,}\mathrm{4} \right )}}}$$
进行拉普拉斯反变换，电路的冲激响应由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{ y\left ( t \right )\mathrm{=}\mathrm{4}e^{-\mathrm{4}t}u\left ( t \right )}}$$
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