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法学利用拉普拉斯变换分析串联RC电路的阶跃响应和冲激响应
图1所示为一个由电阻(R)和电容(C)串联组成的电路。假设开关(S)在t=0时闭合。
利用拉普拉斯变换求解串联RC电路的阶跃响应
为了获得串联RC电路的阶跃响应，施加的输入为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}Vu\left ( t \right )}}$$
根据基尔霍夫电压定律(KVL)，串联RC电路的描述方程为：
$$\mathrm{\mathit{Vu\left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{t}i\left ( t \right )dt}}$$
该方程可以写成：
$$\mathrm{\mathit{Vu\left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{\mathrm{0}}i\left ( t \right )dt\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{\mathrm{0} }^{t}i\left ( t \right )dt}}$$
对等式两边进行拉普拉斯变换：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ Vu\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ Ri\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\: +\: }L\left [ \frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{\mathrm{0}}i\left ( t \right )dt \right ]\mathrm{\: +\: }L\left [ \frac{\mathrm{1}}{C}\int_{\mathrm{0} }^{t}i\left ( t \right )dt \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \frac{V}{s}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{I\left ( s \right )}{s} \right ]\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{q\left ( \mathrm{0^{\mathrm{\: +\: }}} \right )}{s} \right ] }}$$
其中，$\mathrm{\mathit{q\left ( \mathrm{0^{\mathrm{\: +\: }}} \right )}}$是t=(0⁺)时刻电容上的电荷，即初始电荷。如果忽略初始条件，则：
$$\mathrm{\mathit{\frac{V}{s}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\frac{I\left ( s \right )}{sC}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\frac{V}{s}\mathrm{=}I\left ( s \right )\left ( R\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sC} \right )}}$$
因此，电路中的电流为：
$$\mathrm{\mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{V}{s\left ( R\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sC} \right )}\mathrm{=}\frac{V}{s}\left ( \frac{sC}{sRC\mathrm{\: +\: }\mathrm{1}} \right )\mathrm{=}\frac{VC}{RC\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC} \right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{V}{R}\left [ \frac{\mathrm{1}}{\left ( s \mathrm{\: +\: } \frac{\mathrm{1}}{RC} \right )} \right ]}}$$
对等式两边进行拉普拉斯反变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{i\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{V}{R}e^{-\left ( \mathrm{1}/RC \right )t}}}$$
这就是串联RC电路的**阶跃响应**。
利用拉普拉斯变换求解串联RC电路的冲激响应
为了获得串联RC电路（如图1所示）的冲激响应，施加的输入为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\delta \left ( t \right )}}$$
因此，描述系统的方程为：
$$\mathrm{\mathit{\delta \left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{t}i\left ( t \right )dt\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{\mathrm{0}}i\left ( t \right )dt\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{\mathrm{0} }^{t}i\left ( t \right )dt}}$$
对等式两边进行拉普拉斯变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{1}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{I\left ( s \right )}{s} \right ]\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{q\left ( \mathrm{0^{\mathrm{\: +\: }}} \right )}{s} \right ] }}$$
其中，$\mathrm{\mathit{q\left ( \mathrm{0^{\mathrm{\: +\: }}} \right )}}$是电容上的初始电荷，忽略初始条件，得到：
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{1}\mathrm{=}RI\left ( s \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\left [ \frac{I\left ( s \right )}{s} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\left ( R\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sC} \right )I\left ( s \right )\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
因此，流过电路的电流为
$$\mathrm{ \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\left ( R\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sC} \right )}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{R\left ( \mathrm{1}\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{sRC} \right )}\mathrm{=}\frac{sRC}{R\left ( sRC\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{sC}{\left ( sRC\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )}\mathrm{=}\frac{sC}{RC\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC} \right )}\mathrm{=}\frac{s}{R\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC} \right )}}}$$
在上述方程右边分子中加减$\mathrm{\mathit{\left ( \mathrm{1}/Rc \right )}}$，得到：
$$\mathrm{\mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{R}\left [ \frac{\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC}\right )-\left ( \frac{\mathrm{1}}{RC} \right ) }{\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC}\right )} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{I\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{R}\left\{\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{RC}\left [ \frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{RC} \right )} \right ] \right\}}}$$
现在对等式两边进行拉普拉斯反变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{i\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{R}\left [ \delta \left ( t \right )-\frac{\mathrm{1}}{RC}e^{-\left ( {\mathrm{1}}/RC \right )t}u\left ( t \right ) \right ]}}$$
这就是串联RC电路的**冲激响应**。
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