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法学二阶系统瞬态响应
为了理解二阶系统的瞬态响应，考虑具有单位负反馈的闭环系统的框图。
二阶系统的开环传递函数由下式给出：
$$G(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+2\zeta\:\omega_{n})}$$
二阶系统的闭环传递函数由下式给出：
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}} \:\:\:\:...(1)$$
其中：
R(s) = 输入信号r(t)的拉普拉斯变换，
C(s) = 输出信号c(t)的拉普拉斯变换，
ξ= 阻尼比，
Ωn = 自然振荡频率。
从公式(1)可以看出，分母项中s的幂为二。因此，该传递函数表示一个二阶控制系统。
二阶系统的特征方程是通过将闭环传递函数的分母等于零得到的，即：
$$s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}\:\:\:\:...(2)$$
二阶系统响应的表达式可以写成：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})R(s)\:\:\:\:\:...(3)$$
当 ξ = 0 时，系统为无阻尼系统。
当 ξ = 1 时，系统为临界阻尼系统。
当 0 < ξ < 1 时，系统为欠阻尼系统。
当 ξ > 1 时，系统为过阻尼系统。
二阶系统的单位阶跃响应
在二阶系统的输入端施加单位阶跃信号：
$$r(t)=u(t)$$
对两边进行拉普拉斯变换：
$$R(s)=\frac{1}{s}$$
情况1 – 当 (ξ = 0) 即系统为无阻尼系统时，公式(3)变为：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+\omega_{n}^{2}})R(s)$$
$$\Rightarrow\:C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+\omega_{n}^{2}})(\frac{1}{s})=\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s^{2}+\omega_{n}^{2})}$$
对两边进行逆拉普拉斯变换，得到：
$$C(t)=(1-\cos(\omega_{n}t))u(t)\:\:\:\:\:...(4)$$
公式(4)表明，无阻尼系统的单位阶跃响应是具有恒定幅度和频率的连续时间信号。
情况2 – 当 (ξ = 1) 即系统为临界阻尼系统时，公式(3)可以写成：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})R(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\omega_{n})^{2}})R(s)$$
$$\Rightarrow\:C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\omega_{n})^{2}})\frac{1}{s}=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+\omega_{n})^{2}})$$
通过进行部分分式分解求解上述方程，得到：
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_{n}}-\frac{\omega_{n}}{(s+\omega_{n})^{2}}$$
对两边进行逆拉普拉斯变换：
$$C(t)=(1-e^{-\omega_{n}t}-\omega_{n}te^{-\omega_{n}t})u(t)\:\:\:\:\:...(5)$$
当系统为临界阻尼系统时，公式(5)表明，二阶系统的单位阶跃响应将试图达到稳态阶跃输入。
情况3 – 当 (0 < ξ < 1) 即系统为欠阻尼系统时，公式(3)变为：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2})})R(s)$$
$$\Rightarrow\:C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2})})(\frac{1}{s})=\frac{\omega_{n}^{2}}{s((s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2}))}$$
使用部分分式法求解上述方程，得到：
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\zeta\:\omega_{n})}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{d}^{2}}-\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}(\frac{\omega_{d}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{d}^{2}})$$
对上述方程的两边进行逆拉普拉斯变换，得到：
$$C(t)=(1-(\frac{e^{\zeta\:\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}})\sin(\omega_{d}t+\theta))u(t)\:\:\:...(6)$$
其中：
$$\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}$$
公式(6)表明，当系统为欠阻尼系统时，系统的单位阶跃响应具有阻尼振荡，即幅度递减的响应。
情况4 – 当 (ξ > 1) 即系统为过阻尼系统时，响应表达式可以写成：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}-\omega_{n}^{2}(\zeta^{2}-1)})R(s)$$
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}-\omega_{n}^{2}(\zeta^{2}-1)})(\frac{1}{s})=\frac{\omega_{n}^{2}}{s((s+\zeta\:\omega_{n})^{2}-\omega_{n}^{2}(\zeta^{2}-1))}$$
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+\zeta\:\omega_{n}+\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})(s+\zeta\:\omega_{n}-\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})})$$
使用部分分式法求解上述方程，得到：
$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\zeta\:+\sqrt{\zeta^{2}}-1)(\sqrt{\zeta^{2}}-1)}(\frac{1}{s+\zeta\:\omega_{n}+\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1}})-\frac{1}{2(\zeta\:-\sqrt{\zeta^{2}}-1)(\sqrt{\zeta^{2}}-1)}(\frac{1}{s+\zeta\:\omega_{n}-\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1}})$$
对两边进行逆拉普拉斯变换：
$$C(t)=[1+\lbrace(\frac{1}{2(\zeta\:+\sqrt{\zeta^{2}-1})(\sqrt{\zeta^{2}-1})})e^{-(\zeta\:\omega_{n}+\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})t}\rbrace\:-\:\lbrace(\frac{1}{2(\zeta\:-\sqrt{\zeta^{2}-1})(\sqrt{\zeta^{2}-1})})e^{-(\zeta\:\omega_{n}-\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})t}\rbrace]u(t)\:\:\:\:\:...(7)$$
公式(7)是过阻尼二阶系统的单位阶跃响应，该响应永远不会达到稳态阶跃输入。
二阶系统的单位冲激响应
在二阶系统的输入端施加单位冲激信号：
$$r(t)=\delta(t)$$
对两边进行拉普拉斯变换：
$$R(s)=1$$
众所周知，二阶系统的响应由下式给出：
$$c(s)=(\frac{\omega_{b}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})R(s)$$
因此，对于冲激输入，我们得到：
$$c(s)=(\frac{\omega_{b}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})$$
情况1 – 无阻尼系统 (ξ = 0)，
$$C(t)=\omega_{n}\sin(\omega_{n}t)\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:\:\:....(8)$$
情况2 – 临界阻尼系统 (ξ = 1)，
$$C(s)=\omega_{n}^{2}te^{-\omega_{n}t}\:\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:\:....(9)$$
情况3 – 欠阻尼系统 (0 < ξ < 1)，
$$C(t)=(\frac{\omega_{ne^{-\zeta\:\omega_{n}t}}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}})\sin(\omega_{d}t)\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:\:\:\:...(10)$$
情况4 – 过阻尼系统 (ξ > 1)，
$$C(t)=(\frac{\omega_{n}}{2\sqrt{1-\zeta^{2}}})[(e^{-(\zeta\:\omega_{n}-\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})t})-(e^{-(\zeta\:\omega_{n}+\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})t})]\:\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:\:\:...(11)$$
二阶系统的单位斜坡响应
在二阶系统的输入端施加单位斜坡信号：
$$r(t)=t\:u(t)$$
对两边进行拉普拉斯变换：
$$R(s)=\frac{1}{s^{2}}$$
二阶系统的响应方程由下式给出：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})R(s)$$
施加斜坡信号后，上述方程变为：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})(\frac{1}{s^{2}})=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}(s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2})})$$
因此，对于欠阻尼系统，即 (0 < ξ < 1)，
$$C(t)=t-\frac{2\zeta}{\omega_{n}}+e^{-\zeta\:\omega_{n}t}(\frac{2\zeta}{\omega_{n}}\cos(\omega_{d}t)+\frac{2\zeta^{2}-1}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}\sin(\omega_{d}t))\:\:\:\:\:\:...(12)$$
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