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法学二阶系统瞬态响应
为了理解二阶系统的瞬态响应，考虑具有单位负反馈的闭环系统的框图。
二阶系统的开环传递函数由下式给出：
G(s)=ω2ns(s+2ζωn)
二阶系统的闭环传递函数由下式给出：
C(s)R(s)=G(s)1+G(s)=ω2ns2+2ζωns+ω2n...(1)
其中：
R(s) = 输入信号r(t)的拉普拉斯变换，
C(s) = 输出信号c(t)的拉普拉斯变换，
ξ= 阻尼比，
Ωn = 自然振荡频率。
从公式(1)可以看出，分母项中s的幂为二。因此，该传递函数表示一个二阶控制系统。
二阶系统的特征方程是通过将闭环传递函数的分母等于零得到的，即：
s2+2ζωns+ω2n...(2)
二阶系统响应的表达式可以写成：
C(s)=(ω2ns2+2ζωns+ω2n)R(s)...(3)
当 ξ = 0 时，系统为无阻尼系统。
当 ξ = 1 时，系统为临界阻尼系统。
当 0 < ξ < 1 时，系统为欠阻尼系统。
当 ξ > 1 时，系统为过阻尼系统。
二阶系统的单位阶跃响应
在二阶系统的输入端施加单位阶跃信号：
r(t)=u(t)
对两边进行拉普拉斯变换：
R(s)=1s
情况1 – 当 (ξ = 0) 即系统为无阻尼系统时，公式(3)变为：
C(s)=(ω2ns2+ω2n)R(s)
⇒C(s)=(ω2ns2+ω2n)(1s)=ω2ns(s2+ω2n)
对两边进行逆拉普拉斯变换，得到：
C(t)=(1−cos(ωnt))u(t)...(4)
公式(4)表明，无阻尼系统的单位阶跃响应是具有恒定幅度和频率的连续时间信号。
情况2 – 当 (ξ = 1) 即系统为临界阻尼系统时，公式(3)可以写成：
C(s)=(ω2ns2+2ωns+ω2n)R(s)=(ω2n(s+ωn)2)R(s)
⇒C(s)=(ω2n(s+ωn)2)1s=(ω2ns(s+ωn)2)
通过进行部分分式分解求解上述方程，得到：
C(s)=1s−1s+ωn−ωn(s+ωn)2
对两边进行逆拉普拉斯变换：
C(t)=(1−e−ωnt−ωnte−ωnt)u(t)...(5)
当系统为临界阻尼系统时，公式(5)表明，二阶系统的单位阶跃响应将试图达到稳态阶跃输入。
情况3 – 当 (0 < ξ < 1) 即系统为欠阻尼系统时，公式(3)变为：
C(s)=(ω2n(s+ζωn)2+ω2n(1−ζ2))R(s)
⇒C(s)=(ω2n(s+ζωn)2+ω2n(1−ζ2))(1s)=ω2ns((s+ζωn)2+ω2n(1−ζ2))
使用部分分式法求解上述方程，得到：
C(s)=1s−(s+ζωn)(s+ζωn)2+ω2d−ζ√1−ζ2(ωd(s+ζωn)2+ω2d)
对上述方程的两边进行逆拉普拉斯变换，得到：
C(t)=(1−(eζωnt√1−ζ2)sin(ωdt+θ))u(t)...(6)
其中：
ωd=ωn√1−ζ2
公式(6)表明，当系统为欠阻尼系统时，系统的单位阶跃响应具有阻尼振荡，即幅度递减的响应。
情况4 – 当 (ξ > 1) 即系统为过阻尼系统时，响应表达式可以写成：
C(s)=(ω2n(s+ζωn)2−ω2n(ζ2−1))R(s)
C(s)=(ω2n(s+ζωn)2−ω2n(ζ2−1))(1s)=ω2ns((s+ζωn)2−ω2n(ζ2−1))
C(s)=(ω2ns(s+ζωn+ωn√ζ2−1)(s+ζωn−ωn√ζ2−1))
使用部分分式法求解上述方程，得到：
C(s)=1s+12(ζ+√ζ2−1)(√ζ2−1)(1s+ζωn+ωn√ζ2−1)−12(ζ−√ζ2−1)(√ζ2−1)(1s+ζωn−ωn√ζ2−1)
对两边进行逆拉普拉斯变换：
C(t)=[1+{(12(ζ+√ζ2−1)(√ζ2−1))e−(ζωn+ωn√ζ2−1)t}−{(12(ζ−√ζ2−1)(√ζ2−1))e−(ζωn−ωn√ζ2−1)t}]u(t)...(7)
公式(7)是过阻尼二阶系统的单位阶跃响应，该响应永远不会达到稳态阶跃输入。
二阶系统的单位冲激响应
在二阶系统的输入端施加单位冲激信号：
r(t)=δ(t)
对两边进行拉普拉斯变换：
R(s)=1
众所周知，二阶系统的响应由下式给出：
c(s)=(ω2bs2+2ζωns+ω2n)R(s)
因此，对于冲激输入，我们得到：
c(s)=(ω2bs2+2ζωns+ω2n)
情况1 – 无阻尼系统 (ξ = 0)，
C(t)=ωnsin(ωnt)fort≥0....(8)
情况2 – 临界阻尼系统 (ξ = 1)，
C(s)=ω2nte−ωntfort≥0....(9)
情况3 – 欠阻尼系统 (0 < ξ < 1)，
C(t)=(ωne−ζωnt√1−ζ2)sin(ωdt)fort≥0...(10)
情况4 – 过阻尼系统 (ξ > 1)，
C(t)=(ωn2√1−ζ2)[(e−(ζωn−ωn√ζ2−1)t)−(e−(ζωn+ωn√ζ2−1)t)]fort≥0...(11)
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二阶系统的单位斜坡响应
在二阶系统的输入端施加单位斜坡信号：
r(t)=tu(t)
对两边进行拉普拉斯变换：
R(s)=1s2
二阶系统的响应方程由下式给出：
C(s)=(ω2ns2+2ζωns+ω2n)R(s)
施加斜坡信号后，上述方程变为：
C(s)=(ω2ns2+2ζωns+ω2n)(1s2)=(ω2ns2(s2+2ζωns+ω2n))
因此，对于欠阻尼系统，即 (0 < ξ < 1)，
C(t)=t−2ζωn+e−ζωnt(2ζωncos(ωdt)+2ζ2−1ωn√1−ζ2sin(ωdt))...(12)
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