单射、满射和双射函数

单射/一对一函数

如果对于每个 $b \in B$，最多存在一个 $a \in A$ 使得 $f(s) = t$，则函数 $f: A \rightarrow B$ 为单射或一对一函数。

这意味着如果 $a_1 e a_2$，则 $f(a1) e f(a2)$。

示例

• $f: N \rightarrow N, f(x) = 5x$ 是单射。

• $f: N \rightarrow N, f(x) = x^2$ 是单射。

• $f: R\rightarrow R, f(x) = x^2$ 不是单射，因为 $(-x)^2 = x^2$

满射/映上函数

如果函数 $f: A \rightarrow B$ 的像等于其值域，则该函数为满射（映上）。等价地，对于每个 $b \in B$，都存在某个 $a \in A$ 使得 $f(a) = b$。这意味着对于 B 中的任何 y，都存在 A 中的某个 x 使得 $y = f(x)$。

示例

• $f : N \rightarrow N, f(x) = x + 2$ 是满射。

• $f : R \rightarrow R, f(x) = x^2$ 不是满射，因为我们找不到平方为负数的实数。

双射/一一对应

当且仅当 f 既是单射又是满射时，函数 $f: A \rightarrow B$ 为双射或一一对应。

问题

证明由 $f(x) = 2x – 3$ 定义的函数 $f: R \rightarrow R$ 是双射函数。

解释 - 我们必须证明此函数既是单射又是满射。

如果 $f(x_1) = f(x_2)$，则 $2x_1 – 3 = 2x_2 – 3$，这意味着 $x_1 = x_2$。

因此，f 是单射。

这里，$2x – 3= y$

所以，$x = (y+5)/3$ 属于 R 且 $f(x) = y$。

因此，f 是满射。

由于 f 既是满射又是单射，因此我们可以说 f 是双射。

Mahesh Parahar

更新于: 2019年8月23日

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