关系与函数练习题

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引言

关系和函数是两个集合之间的映射。关系和函数的应用存在于现实世界的每一个角落。

在数学科学中，关系和函数是相互关联的研究课题。

例如，将基本单位从米转换为厘米，人的身高和体重，不同气候条件下的体温，员工工作的年收入等。

如果一个输入只有一个输出，则该关系是一个函数。有序对中输入和输出的关系是一个关系。

关系和函数练习题将提供对概念的基本理解，并帮助他们了解其在现实世界中的应用。

什么是关系？

• 两个或多个非空集合的有序对中的输入值和输出值是关系。

• 它是所提供的非空集合的集合元素之间的连接或关系。

例如，

两个非空集合 $\mathrm{A\:=\:\lbrace\:d\:,\:g\:,\:k\:,\:m\:\rbrace}$ 和 $\mathrm{B\:=\:\lbrace\:a\:,\:s\:,\:h\:,\:b\:\rbrace}$ 的关系由 $\mathrm{R\:=\:\lbrace\:(d\:,\:a)\:,\:(g\:,\:s)\:,\:(k\:,\:h)\:,\:(m\:,\:b)\:,\:(g\:,\:h)\rbrace}$ 给出

从这个映射中，我们一致认为关系并非在所有情况下都是函数。

给定的例子是一个关系，但不是一个函数，因为它对相同的输入有多个输出值。

关系有哪些类型？

关系有不同的类型，即空关系、自反关系、传递关系、对称关系、逆关系、恒等关系、全域关系和等价关系。

空关系

如果一个集合的输入值与另一个集合的值之间没有映射，则称为空关系或无效关系。

$$\mathrm{R\:=\:\phi}$$

自反关系

如果集合 A 的元素映射到自身，则该关系称为自反关系。

传递关系

如果 $\mathrm{pRq\:and\:qRr\:\Longrightarrow\:pRr}$，则称关系为传递关系。

对称关系

对称关系包含一个集合的有序对及其反向有序对。

逆关系

如果一个集合包含另一个集合的逆对，则这种类型的关系称为逆关系。

恒等关系

如果集合 A 中的所有元素都映射到自身，则称关系为恒等关系。

全域关系

如果一个集合的所有元素都映射到另一个集合的元素或集合本身，则这种类型的关系称为全域关系。

等价关系

如果一个关系是对称的、传递的和自反的，我们称该关系为等价关系。

什么是函数？

在关系中，如果每个输入值都分配给一个不同的输出值，则该关系称为函数。

• 函数的定义域是函数所有输入的集合。

• 函数的陪域是可能成为函数输出的元素的集合。

• 函数的值域是函数的输出值。

例如

令两个非空集合为 {2, 3, 5} 和 {3, 4, 6, 7, 8}。如果关系 𝑅 ={(2, 3), (3, 4), (5, 6)}。定义域、陪域和值域是什么？

答案 -

函数的定义域 = {2, 3, 5}

函数的陪域 = {3, 4, 6, 7, 8}

函数的值域 = {3, 4, 6}

函数有哪些类型？

映射有各种类型，即一对一函数、满射函数和入射函数。

一对一函数

如果每个输入值都有一个不同的输出值，则这种类型的函数称为一对一函数。

满射函数

如果每个输出值在另一个集合中都存在一个值，则称为满射函数或满射。

入射函数

如果陪域集合中至少有一个元素没有被定义域集合的任何元素映射，则称该函数为入射函数。

例题解析

1) 令 $\mathrm{f\:\colon\:A\:\rightarrow\:B}$ 为由 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1}$ 定义的函数，其中 𝒙 取值 0、1、2 和 3。求函数的值域。

答案 -

将给定的输入值代入 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:+\:1}$，得到

$\mathrm{f(0)\:=\:1\:,\:f(1)\:=\:2\:,\:f(2)\:=\:5\:and\:f(3)\:=\:10}$

函数的值域 = {1, 2, 5, 10}

2) 从给定的映射图中，求函数的定义域和值域。

答案 -

定义域 $\mathrm{=\:\lbrace\:Fire\:,\:Water\:,\:Land\:,\:Wind\:\rbrace}$

值域 $\mathrm{=\:\lbrace\:Wood\:,\:Breeze\:,\:Sand\:,\:Fish\:\rbrace}$

3) 令两个非空集合为 $\mathrm{A\:=\:\lbrace\:7\:,\:8\:,\:9\:,\:10\:\rbrace}$ 和 $\mathrm{B\:=\:\lbrace\:1\:,\:2\:,\:3\:,\:4\:\rbrace}$。如果从 A 到 B 定义了一个函数 $\mathrm{f(x)}$，那么函数的输入值和输出值是什么？

答案 -

输入值将是集合 $\mathrm{A\:=\:\lbrace\:7\:,\:8\:,\:9\:,\:10\:\rbrace}$

输出值将是集合 $\mathrm{B\:=\:\lbrace\:1\:,\:2\:,\:3\:,\:4\:\rbrace}$

4) 从给定的映射图中，求函数的定义域、陪域和值域。

答案 -

定义域 = {2,4,6,8,10}

陪域 = {1,3,5,7,9}

值域 = {1, 9}

5) 从 A 到 B 的函数 F 定义为 $\mathrm{\lbrace\:(1\:,\:b)\:,\:(3\:,\:e)\:,\:(7\:,\:m)\:,\:(9\:,\:u)\:\rbrace}$。绘制该函数的映射图并说明其类型。

答案 -

上述映射是一对一函数。

6) 令 $\mathrm{f\:\colon\:A\:\rightarrow\:B}$ 为一个函数，使得 $\mathrm{f(x)\:=\:\lbrace\:(4\:,\:6)\:,\:(7\:,\:9)\:,\:(8\:,\:9)\:\rbrace}$。借助映射图找出函数的类型。

答案 -

给定函数的类型是满射。

7) 如果函数的定义域为 {𝟐, 𝟓, 𝟗}，值域为 {𝟐, 𝟓, 𝟗}。这种类型的关系叫什么，它是一个函数吗？

答案 - 如果每个元素都与其自身相关，则该关系是自反的。是的，这种类型的关系是一个函数。

8) 假设函数由 $\mathrm{f(x)\:=\:\lbrace\:(1\:,\:1)\:,\:(2\:,\:2)\:,\:(3\:,\:3)\:,\:(4\:,\:4)\:\rbrace}$ 定义。该函数是什么类型的关系？

答案 -

在给定的函数中

$\mathrm{f(x)\:=\:\lbrace\:(1\:,\:1)\:,\:(2\:,\:2)\:,\:(3\:,\:3)\:,\:(4\:,\:4)\:\rbrace}$，关系的类型是恒等关系。因为集合中的所有元素都映射到自身。

9) 如果函数的值域为 $\mathrm{\lbrace\:e\:,\:r\:,\:f\:,\:g\:,\:h\:\rbrace}$。定义的函数是什么？

答案 - 给定的数据不足。在不知道定义域的情况下，给定的值域将无效，并且无法确定关系或函数的类型。

10) 如果集合 $\mathrm{A\:=\:\lbrace\:W\:,\:X\:,\:Y\:,\:Z\:\rbrace}$ 和集合 $\mathrm{B\:=\:\lbrace\:A\:,\:B\:,\:C\:,\:D\:\rbrace}$，并且从 A 到 B 的定义函数 F 为 $\mathrm{f(x)\:=\:\lbrace\:(W\:,\:C)\:,\:(X\:,\:D)\:,\:(Y\:,\:B)\:,\:(Z\:,\:A)\:\rbrace}$。映射给定的函数。

答案 -

11) 从给定的映射图中，求从 A 到 B 的定义函数 F。

答案 - 从 A 到 B 定义的函数为 {(1,2), (2,4), (3,5), (4,6)}

12) 从给定的映射图中，求非空集合。

解 - 非空集合为 $\mathrm{A\:=\:\lbrace\:a\:,\:b\:,\:c\:\rbrace}$ 和 $\mathrm{B\:=\:\lbrace\:11\:,\:22\:,\:44\:\rbrace}$

练习题

• 假设函数由 $\mathrm{f(x)\:=\:\lbrace\:(a\:,\:a)\:,\:(b\:,\:b)\:,\:(c\:,\:c)\:,\:(d\:,\:a)\:\rbrace}$ 定义。该函数是什么类型的关系？

• 令 $\mathrm{f\:\colon\:A\:\rightarrow\:B}$ 为由 $\mathrm{f(x)\:=\:2x^{3}\:+\:1}$ 定义的函数，其中 𝑥 取值 1、2、3 和 4。求函数的值域。

• 从 A 到 B 的函数 F 定义为 $\mathrm{\lbrace\:(F\:,\:D)\:,\:(Y\:,\:D)\:,\:(U\:,\:P)\:,\:(S\:,\:Q)\:\rbrace}$。绘制该函数的映射图并说明其类型。

• 从给定的映射图中，求从 A 到 B 的定义函数 F。

• 令 $\mathrm{f\:\colon\:A\:\rightarrow\:B}$ 为由 $\mathrm{f(x)\:=\:x\:+\:5}$ 定义的函数，对于每个 𝑥 > 0，绘制定义函数的映射图。

• 如果关系由 $\mathrm{R\:=\:\lbrace\:(9\:,\:0)\:,\:(2\:,\:5)\:,\:(7\:,\:8)\:,\:(7\:,\:4)\:\rbrace}$ 定义。R 是函数吗？

• 如果函数 $\mathrm{f\:\colon\:A\:\rightarrow\:B}$ 由 𝑓(𝑥) = {(e,p), (l,b), (s,f),(k,q)} 定义。求函数的定义域和值域。

结论

• 关系是一组有序对，定义了两个或多个集合的元素之间的连接。

• 函数是一种关系，其中每个输入都有唯一的输出。

• 输入值是函数的定义域。

• 值域是陪域的一部分或子集。

• 为了找到函数的类型，我们应该将值从定义域映射到陪域。

常见问题

1. 函数中的原像和像是什么？

• 映射到给定元素集的元素集称为原像。它是陪域的一个子集。

• 函数可能产生的所有输出值的集合称为函数的像。它是定义域的一个子集。

2. 什么时候关系不是函数？

如果单个输入值有两个或多个输出，则这种类型的一对多映射不是函数。

例如 $\mathrm{R\:=\:\lbrace\:(a\:,\:n)\:,\:(e\:,\:t)\:,\:(a\:,\:v)\:,\:(m\:,\:g)\rbrace}$

3. 什么是垂直线检验？

如果函数的曲线与我们在 XY 平面上绘制的垂直线相交不止一次，则它不是函数，但如果垂直线与一个点相交，则它是一个函数。这是确定函数是否只有一个输出值或多个输出值的可视化方法之一。

4. 什么是双射函数？

如果一个函数是一对一的且是满射的，则称该函数为双射函数。

5. 什么类型的函数被称为单射函数？

如果一个函数是一对一的，那么这个函数就被称为单射函数。