集合的关系

关系可能存在于同一集合中的对象之间，或存在于两个及以上集合中的对象之间。

定义和属性

从集合 x 到 y 的一个二元关系 R（写为 xRy 或 R(x,y)）是笛卡尔积 x × y 的一个子集。如果 G 的有序对倒置，这个关系也会改变。

一般地，集合 A₁, ... ,\A_n 之间的 n 元关系是 n 元积 A₁ × ... × A_n 的一个子集。在这个情况下，关系 R 的最小基数为零，最大基数为 n²。

单集合 A 上的二元关系 R 是 A × A 的一个子集。

对于两个不同的集合，A 和 B，它们的基数分别为 m 和 n，从 A 到 B 的关系 R 的最大基数为 mn。

域和值域

如果存在两个集合 A 和 B，而关系 R 有序对为 (x, y)，那么 -

• 关系 R 的域为 Dom(R)，集合为 { x | (x, y) ∈ R 对于 B 中的某些 y }

• 关系 R 的值域为 Ran(R)，集合为 { y | (x, y) ∈ R 对于 A 中的某些 x}

示例

设，A = { 1, 2, 9 } 且 B = { 1, 3, 7 }

• 第 1 种情况 − 如果关系 R 为“等于”，则 R = { (1, 1), (3, 3) }

  Dom(R) = { 1, 3 } , Ran(R) = { 1, 3 }

• 第 2 种情况 − 如果关系 R 为“小于”，则 R = { (1, 3), (1, 7), (2, 3), (2, 7) }

  Dom(R) = { 1, 2 } , Ran(R) = { 3, 7 }

• 第 3 种情况 − 如果关系 R 为“大于”，则 R = { (2, 1), (9, 1), (9, 3), (9, 7) }

  Dom(R) = { 2, 9 }, Ran(R) = { 1, 3, 7 }

Mahesh Parahar

更新于: 2019 年 8 月 26 日

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