关系与函数

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介绍

关系定义为一个元素对另一个元素的相互依赖。在数学中，函数表示两组元素之间的特定关系。在本教程中，我们将讨论关系和函数的含义、它们的各种类型以及函数的反函数，并附带已解决的示例。

关系

关系是两个类或集合之间的二元关系，表示这两个类的元素以某种方式相关。两个集合X和Y之间的二元关系是一组有序元素对，即(x, y)，使得元素x属于集合X，元素y属于集合Y。关系用符号R表示。它包含两组元素的有序对。

数学上，二元关系可以表示为

$$\mathrm{X\:\times\:Y\:=\:=\:\lbrace(x\:,\:y)\:\lvert\:x\:\varepsilon\:X\:and\:y\:\varepsilon\:Y\rbrace}$$

这里X被称为R的定义域，Y被称为R的值域。数学中的关系可以用三种方式表示。

• 列举法 - 在这种表示方法中，关系通常以元素的有序对的形式表示。

例如，$\mathrm{set\:A\:=\:\lbrace\:-1\:,\:4\:,\:0\:,\:8\:\rbrace\:,\:B\:=\:\lbrace\:-2\:,\:-11\:,\:4\:,\:-2\:\rbrace}$

现在，两组之间的关系可以表示为

$\mathrm{R\:\colon\:A\:\rightarrow\:B\:=\:\lbrace\:(-1\:,\:-2)\:,\:(4\:,\:-11)\:,\:(0\:,\:4)\:,\:(8\:-2)\rbrace\:}$

• 集合构造器法 - 这用于以简短的形式表达大量元素。它用于借助方程或区间来描述集合之间的关系。

例如，$\mathrm{\lbrace\:3\:,\:6\:,\:9\:,\:12\:,\:15\:,\:18\:,\:21\:\rbrace\:}$

现在，它可以表示为

$\mathrm{\lbrace\:p\:\colon\:p\:=\:3n\:,\:n\:\varepsilon\:N\:,\:1\:\leq\:n\:\leq\:7\:\rbrace\:}$

• 箭头图 - 在这种方法中，一组个体元素与另一组个体元素之间的关系通过绘制从左到右的箭头来表示。

例如 - $\mathrm{set\:A\:=\:\lbrace\:2\:,\:0\:,\:-4\:,\:-13\:\rbrace\:,\:B\:=\:3\:,\:-5\:,\:-6\:,\:12\:\rbrace\:}$

现在，两组之间的关系可以表示为

$\mathrm{R\:\colon\:A\:\rightarrow\:B\:=\:\lbrace\:(2\:,\:3)\:,\:(0\:,\:-5)\:,\:(-4\:,\:-6)\:,\:(-13\:,\:12)\:\rbrace\:}$

关系的类型

在数学中，使用了各种类型的关系。下面简要介绍每种类型的关系。

• 自反的

• 对称的

• 传递的

• 等价的

让我们详细讨论每种类型的关系。

自反的

如果$\mathrm{(p\:,\:p)\:\varepsilon\:R\:,\:for\:every\:p\:\varepsilon\:A}$，则R被称为自反的。

对称的

当且仅当$\mathrm{(p\:,\:q\:)\:\varepsilon\:R\:,\:then\:(q\:,\:p)\:\varepsilon\:R}$时，R被称为对称的。

传递的

当且仅当$\mathrm{(p\:,\:q\:)\varepsilon\:R\:and\:(q\:,\:r)\varepsilon\:R\:,\:then\:(p\:,\:r)\varepsilon\:R}$时，R被称为传递的。

等价的

如果R是自反的、对称的和传递的，则R被称为等价的。

函数

从集合A到B的函数是将B的一个元素分配给A的每个元素。换句话说，如果A的每个元素在集合B中只有一个像，则集合A到B的关系R被称为函数。

函数的类型

在数学中，研究了各种函数，如下所示。

• 一对一和多对一

• 满射和入射

• 双射

让我们详细讨论每种类型的函数。

一对一和多对一

如果集合A的每个元素到集合B的元素的映射都是不同的，则函数$\mathrm{f\:\colon\:A\:\rightarrow\:B}$被称为一对一函数。它也称为单射函数。如果集合A的任何元素都与B的多个元素映射，则它被称为多对一函数。下面显示了一对一和多对一函数的示例。

满射和入射

如果B的每个元素都是A在𝑓下某个元素的像，则函数$\mathrm{f\:\colon\:A\:\rightarrow\:B}$被称为满射函数。换句话说，如果函数的值域变为B，则它被称为满射函数。入射函数是满射的反义词。这意味着，如果B的一个元素不是A的某个元素的像，则它被称为入射函数。下面显示了一对一和多对一函数的示例。

双射

如果一个函数既是一对一函数又是满射函数，则它被称为双射函数。

函数的复合

在数学中，两个函数（例如f和g）产生一个新的函数j（例如），使得

$\mathrm{f(x)\:=\:g(f(x))}$。

让我们考虑函数$\mathrm{f\:\colon\:A\:\rightarrow\:B}$和$\mathrm{g\:\colon\:B\:\rightarrow\:C}$是两个函数。上述函数的复合可以写成$\mathrm{gof\:\colon\:A\:\rightarrow\:C\:and\:gof\:=\:g(f(x))}$ 函数复合的示意图如下所示。

函数的反函数

如果$\mathrm{gof\:=\:I_{C}\:and\:fog\:=\:I_{B}}$，则函数$\mathrm{g\:\colon\:B\:\rightarrow\:C}$被称为函数$\mathrm{f\:\colon\:C\:\rightarrow\:B}$的反函数。如果一个函数存在反函数，则它被称为可逆函数。需要注意的是，可逆函数是双射函数。

已解决的示例

示例1

让我们考虑一个集合$\mathrm{P\:=\:\lbrace\:-7\:,\:5\:,\:-6\:,\:3\:\rbrace\:}$，并且关系由$\mathrm{R\:=\:\lbrace\:(-7\:,\:5)\:,\:(-7\:,\:7)\:,\:(5\:,\:5)\:,\:(-6\:,\:3)\:,\:(3\:,\:3)\:,\:(-6\:,\:-6)\:,\:\rbrace\:}$给出。检查关系是否是等价关系。

解决方案 -

自反性 - 由于$\mathrm{(-7\:,\:-7)\:,\:(5\:,\:5)\:,\:(-6\:,\:-6)\:,\:(3\:,\:3)\:R}$，关系R是自反的。

对称性 - 关系R不是对称的，因为$\mathrm{(p\:,\:q)\:R\:,\:but\:(q\:,\:p)}$ 例如$\mathrm{(-7\:,\:5)R\:,\:but\:(5\:,\:7)R}$

传递性 - 关系R是传递的，因为$\mathrm{(p\:,\:q)R\:,\:but\:(p\:,\:r)\:R}$

∴ 上述关系是自反的和传递的。但是，它不满足对称性。因此，上述关系不是等价关系。

示例2

如果$\mathrm{f(x)\:=\:3x\:and\:g(x)\:=\:5x\:-\:8}$，则评估fog。

解决方案 -

给出：

$\mathrm{f(x)\:=\:3x\:and\:g(x)\:=\:5x\:-\:8}$

$\mathrm{fog\:=\:f(g(x))\:=\:f(5x\:-\:8)}$

现在将$\mathrm{x\:=\:5x\:-\:8\:}$的值代入$\mathrm{f(x)}$，我们得到

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Longrightarrow\:fog\:=\:3(5x\:-\:8)\:=\:15x\:-\:24}$

结论

本文简要介绍了关系和函数。本文描述了它们的定义和各种类型。此外，还提供了一些已解决的示例，以更好地理解这一概念。总之，本文可能有助于理解关系和函数的基本概念。

常见问题

1. 所有的关系都是函数。这个说法正确吗？

不。所有函数都是关系。但是，反过来可能不成立。

2. 恒等函数是什么意思？

如果集合B的每个元素都给出相同的元素本身作为其像，则该函数被称为恒等函数。

3. 关系和函数之间有什么基本区别？

关系对于一个输入可能有多个输出。但是，函数对于一个输入只有一个输出。所有函数都可以称为关系。但是，反过来可能不成立。

4. 给出一些关系的现实生活中的例子？

关系的现实生活中的例子是：

• 一种能量饮料中的卡路里数量。

• 油箱中有6.0升柴油行驶的距离。

5. 关系中的定义域是什么意思？

包含关系所有第一个元素的集合称为定义域。