一名窃贼在盗窃后以50米/分钟的匀速逃跑。2分钟后，一名警察开始追捕他。警察第一分钟跑了60米，之后每分钟速度增加5米/分钟。多少分钟后，警察能够追上窃贼？

已知

窃贼的速度 $=50$ 米/分钟。

2分钟后，一名警察开始追捕他。他第一分钟跑了60米，之后每分钟速度增加5米/分钟。

要求

我们需要求出警察追上窃贼所需的时间。
解答

设警察从开始跑步到追上窃贼所花费的时间为 $x$ 分钟。

根据题意，

警察在每连续一分钟内所跑的距离（以米为单位）为 $60, 65, 70, ......, [60+(x-1)5]$

这个数列是等差数列，其中，

$a=60, d=65-60=5$

我们知道，

等差数列前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

因此，

警察跑过的总距离 $=\frac{x}{2}[2(60)+(x-1)5]$......(i)

窃贼在 $x+2$ 分钟内跑过的距离 $=$ 警察跑过的总距离

我们知道，

距离 $=$ 速度 $\times$ 时间

窃贼在 $x+2$ 分钟内跑过的距离 $=50\times(x+2)$....(ii)

由 (i) 和 (ii)

$\frac{x}{2}[2(60)+(x-1)5]=50(x+2)$

$x(120+5x-5)=2(50x+100)$

$115x+5x^2=100x+200$

$5(x^2+23x)=5(20x+40)$

$x^2+23x-20x-40=0$

$x^2+3x-40=0$

$x^2+8x-5x-40=0$

$x(x+8)-5(x+8)=0$

$(x-5)(x+8)=0$

$x-5=0$ 或 $x+8=0$

$x=5$ 或 $x=-8$，由于时间不可能为负数，所以 $x=-8$ 不成立。

因此，警察将在5分钟后追上窃贼。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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