如果\( \theta \)是一个正锐角,且\( \sec \theta=\operatorname{cosec} 60^{\circ} \),求\( 2 \cos ^{2} \theta-1 \)的值。


已知

\( \theta \)是一个正锐角,且\( \sec \theta=\operatorname{cosec} 60^{\circ} \).

要求

我们需要求\( 2 \cos ^{2} \theta-1 \)的值。

解:  

我们知道:

$\operatorname{cosec}\ (90^{\circ}- \theta) = \sec\ \theta$

因此:

$\sec \theta=\operatorname{cosec}\ (90^{\circ}- \theta)$

$\Rightarrow \operatorname{cosec}\ (90^{\circ}- \theta)=\operatorname{cosec}\ 60^{\circ}$

比较两边,得到:

$90^{\circ}- \theta=60^{\circ}$

$\theta=90^{\circ}-60^{\circ}$

$\theta=30^{\circ}$

这意味着:

$2 \cos ^{2} \theta-1=2 \cos ^{2}30^{\circ}-1$

$=2(\frac{\sqrt3}{2})^2-1$

$=2(\frac{3}{4})-1$

$=\frac{3}{2}-1$

$=\frac{1}{2}$

\( 2 \cos ^{2} \theta-1 \)的值是$\frac{1}{2}$。 

更新于:2022年10月10日

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