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法律研究证明：\( 1+\frac{\cot ^{2} \theta}{1+\operatorname{cosec} \theta}=\operatorname{cosec} \theta \)
待办事项
我们需要证明\( 1+\frac{\cot ^{2} \theta}{1+\operatorname{cosec} \theta}=\operatorname{cosec} \theta \).
解答
我们知道：
$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此：
$1+\frac{\cot ^{2} \theta}{1+\operatorname{cosec} \theta}=1+\frac{\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}}{1+\frac{1}{\sin \theta}}$
$=1+\frac{\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}}{\frac{\sin \theta+1}{\sin \theta}}$
$=1+\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta} \times \frac{\sin \theta}{\sin \theta+1}$
$=1+\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(\sin \theta+1)}$
$=\frac{\sin \theta(\sin \theta+1)+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(\sin \theta+1)}$
$=\frac{\sin^2 \theta+\sin \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(\sin \theta+1)}$
$=\frac{1+\sin \theta}{\sin \theta(\sin \theta+1)}$
$=\frac{1}{\sin \theta}$
$=\operatorname{cosec} \theta$
证毕。
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