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法学证明以下三角恒等式：\( \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta \)
待办事项
我们需要证明\( \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta \).
解答
我们知道：
$\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$.......(i)
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$.......(ii)
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$........(iii)
因此：
$\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\times \frac{1-\cos \theta}{1-\cos \theta}}$ (乘以并除以 $1-\cos \theta$)
$=\sqrt{\frac{(1-\cos \theta)^2}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}}$
$=\sqrt{\frac{(1-\cos \theta)^2}{1^2-\cos^2 \theta}}$
$=\sqrt{\frac{(1-\cos \theta)^2}{1-\cos^2 \theta}}$
$=\sqrt{\frac{(1-\cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}}$ (根据 (i))
$=\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$=\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta$ (根据 (ii) 和 (iii))
证毕。
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