证明以下三角恒等式：\( \cot \theta-\tan \theta=\frac{2 \cos ^{2} \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)

待办事项

我们需要证明\( \cot \theta-\tan \theta=\frac{2 \cos ^{2} \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)。

解答

我们知道，

$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.....(i)

$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.....(ii)

$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(iii)

因此，

$\cot \theta-\tan \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$               [来自 (i) 和 (ii)]

$=\frac{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}{\sin \theta\cos \theta}$          

$=\frac{\cos^2 \theta-(1-\cos^2 \theta)}{\sin \theta\cos \theta}$                    [来自 (iii)] 

$=\frac{2\cos^2 \theta-1}{\sin \theta\cos \theta}$              

证毕。   

教程点

更新于： 2022年10月10日

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