证明以下三角恒等式：\( (\sec \theta+\cos \theta)(\sec \theta-\cos \theta)=\tan ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta \)

待办事项

我们需要证明\( (\sec \theta+\cos \theta)(\sec \theta-\cos \theta)=\tan ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta \).

解答

我们知道，

$\sec^2 \theta-\tan^2 \theta=1$........(i)

$\sin^2 \theta+cos ^{2} \theta=1$.......(ii)

因此，

$(\sec \theta+\cos \theta)(\sec \theta-\cos \theta)=\sec ^{2} \theta-\cos^2 \theta$  ($(a+b)(a-b)=a^2-b^2$)

$=(1+\tan^2 \theta)-(1-\sin^2 \theta)$     (根据 (i) 和 (ii))

$=1-1+\tan^2 \theta+\sin^2 \theta$    

$=\tan^2 \theta+\sin^2 \theta$       

证毕。      

教程点

更新于： 2022年10月10日

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