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法学研究证明以下三角恒等式：\( \frac{1+\sec \theta}{\sec \theta}=\frac{\sin ^{2} \theta}{1-\cos \theta} \)
待办事项
我们需要证明\( \frac{1+\sec \theta}{\sec \theta}=\frac{\sin ^{2} \theta}{1-\cos \theta} \).
解答
我们知道：
$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(i)
$\cos \theta=\frac{1}{\sec \theta}$.........(ii)
因此：
$\frac{1+\sec \theta}{\sec \theta}=\frac{1}{\sec \theta}+\frac{\sec \theta}{\sec \theta}$
$=\cos \theta+1$ [根据(ii)]
分子分母同乘以 ($1-\cos \theta$)，得到：
$\cos \theta+1=(1+\cos \theta)\frac{1-\cos \theta}{1-\cos \theta}$
$=\frac{1^2-\cos^2 \theta}{1-\cos \theta}$
$=\frac{1-\cos^2 \theta}{1-\cos \theta}$
$=\frac{\sin^2 \theta}{1-\cos \theta}$ [根据(i)]
证毕。
更新于：2022年10月10日
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