证明以下三角恒等式：\( \tan \theta-\cot \theta=\frac{2 \sin ^{2} \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)

待办事项

我们需要证明\( \tan \theta-\cot \theta=\frac{2 \sin ^{2} \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)。

解答

我们知道，

$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.....(i)

$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.....(ii)

$\cos ^{2} \theta+\sin^2 \theta=1$.......(iii)

因此，

$\tan \theta-\cot \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$               [根据 (i) 和 (ii)]

$=\frac{\sin^2 \theta-\cos^2 \theta}{\sin \theta\cos \theta}$          

$=\frac{\sin^2 \theta-(1-\sin^2 \theta)}{\sin \theta\cos \theta}$                    [根据 (iii)] 

$=\frac{2\sin^2 \theta-1}{\sin \theta\cos \theta}$              

证毕。   

教程点

更新于： 2022年10月10日

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