证明以下三角恒等式：$\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$

待办事项

我们需要证明$\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$.

解答

我们知道，

$\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$.......(i)

因此，

$\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}=\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}\times \frac{1+\sin \theta}{1+\sin \theta}$     (用$1+\sin \theta$乘以分子和分母)

$=\frac{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}{(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)}$

$=\frac{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}{1^2-\sin^2 \theta}$

$=\frac{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}{1-\sin^2 \theta}$

$=\frac{(\cos \theta)(1+\sin \theta)}{\cos^2 \theta}$           (根据(i))

$=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$     

证毕。  

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更新于: 2022年10月10日

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