证明：$\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}$

待办事项

我们需要证明$\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}$.

解答

我们知道，

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此，

$\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{\tan \theta-1+\sec \theta}{\tan \theta+1-\sec \theta}$        (将分子和分母除以 $\cos \theta$ )

$=\frac{(\tan \theta+\sec \theta)-1}{(\tan \theta-\sec \theta)+1}$
乘以和除以 $(\tan \theta-\sec \theta)$，我们得到，

$=\frac{(\tan \theta+\sec \theta-1)(\tan \theta-\sec \theta)}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$

$=\frac{\left(\tan ^{2} \theta-\sec ^{2} \theta\right)-(\tan \theta-\sec \theta)}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$

$=\frac{-1-\tan \theta+\sec \theta}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$

$=\frac{-(\tan \theta-\sec \theta+1)}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$

$=\frac{-1}{\tan \theta-\sec \theta}$

$=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}$

证毕。      

教程点

更新于： 2022年10月10日

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