如果 $cot \theta=\frac{7}{8}$，求值
$ \frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}$

已知项为 $cot \theta=\frac{7}{8}$。

要求

我们必须使用 $cot \theta=\frac{7}{8}$ 计算 $ \frac{(1+sin \theta)(1-sin \theta)}{(1+cos \theta)(1-cos \theta)}$ 的值。

解答

$ \frac{(1+sin \theta)(1-sin \theta)}{(1+cos \theta)(1-cos \theta)}$

分子和分母的形式为 $(a + b)(a - b)$

我们知道，$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

所以，$ \frac{(1+sin \theta)(1-sin \theta)}{(1+cos \theta)(1-cos \theta)} = \frac{1-sin^2 \theta}{1-cos^2 \theta}$

由 $sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1$

可以推断出 $cos^2 \theta = 1 - sin^2 \theta ; sin^2 \theta = 1- cos^2 \theta$

$ \frac{1-sin^2 \theta}{1-cos^2 \theta} = \frac{cos^2 \theta}{sin^2 \theta}$

$\frac{cos^2 \theta}{sin^2 \theta} = cot^2 \theta$ $[\frac{cos \theta}{sin \theta} = cot \theta]$

已知 $cot \theta=\frac{7}{8}$

$cot^2 \theta = (\frac{7}{8})^2$

$cot^2 \theta = \frac{49}{64}$。

当 $cot \theta=\frac{7}{8}$ 时，$ \frac{(1+sin \theta)(1-sin \theta)}{(1+cos \theta)(1-cos \theta)}$ 的值为 $\frac{49}{64}$

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更新于：2022年10月10日

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