证明以下三角恒等式：\( (\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)=\cot ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta \)

待办事项

我们需要证明 \( (\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)=\cot ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta \)。

解答

我们知道，

$\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot^2 \theta=1$........(i)

$\sin^2 \theta+cos ^{2} \theta=1$.......(ii)

因此，

$(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)=\operatorname{cosec} ^{2} \theta-\sin^2 \theta$       [$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$]

$=(1+\cot^2 \theta)-(1-\cos^2 \theta)$     (根据 (i) 和 (ii))

$=1-1+\cot^2 \theta+\cos^2 \theta$    

$=\cot^2 \theta+\cos^2 \theta$       

证毕。   

教程点

更新于： 2022年10月10日

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