证明以下三角恒等式：\( \sec ^{6} \theta=\tan ^{6} \theta+3 \tan ^{2} \theta \sec ^{2} \theta+1 \)

待办事项

我们需要证明\( \sec ^{6} \theta=\tan ^{6} \theta+3 \tan ^{2} \theta \sec ^{2} \theta+1 \).

解答

我们知道，

$\sec ^{2} \theta-\tan^2 \theta=1$.......(i)

$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.........(ii)

因此，

$\sec ^{6} \theta=(\sec ^2 \theta)^3$

$=(1+\tan^2 \theta)^3$                [根据 (i)]

$=1^3+(\tan^2 \theta)^3+3(1)(\tan^2 \theta)(1+\tan^2 \theta)$        [根据 (ii)]          

$=1+\tan^6 \theta+3\tan^2 \theta(1+\tan^2 \theta)$

$=1+\tan^6 \theta+3\tan^2 \theta\sec^2 \theta$         [根据 (i)]

$=\tan ^{6} \theta+3 \tan ^{2} \theta \sec ^{2} \theta+1$

证毕。       

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更新于: 2022年10月10日

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